Finite Mathematik Beispiele

$y = \frac{1}{- 8 x + 1}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{- 8 y + 1}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{- 8 y + 1} = x$ um.

$\frac{1}{- 8 y + 1} = x$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$- 8 y + 1, 1$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$- 8 y + 1, 1$

Schritt 2.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$- 8 y + 1$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{- 8 y + 1} = x$ mit $- 8 y + 1$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{- 8 y + 1} = x$ mit $- 8 y + 1$ .

$\frac{1}{- 8 y + 1} (- 8 y + 1) = x (- 8 y + 1)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{- 8 y + 1}$ mit $- 8 y + 1$ .

$\frac{- 8 y + 1}{- 8 y + 1} = x (- 8 y + 1)$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 8 y + 1$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 8 y + 1}{- 8 y + 1} = x (- 8 y + 1)$

Schritt 2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = x (- 8 y + 1)$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = x (- 8 y) + x \cdot 1$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = - 8 x y + x \cdot 1$

Schritt 2.3.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$1 = - 8 x y + x$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Schreibe die Gleichung als $- 8 x y + x = 1$ um.

$- 8 x y + x = 1$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 8 x y = 1 - x$

Schritt 2.4.3

Teile jeden Ausdruck in $- 8 x y = 1 - x$ durch $- 8 x$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 8 x y = 1 - x$ durch $- 8 x$ .

$\frac{- 8 x y}{- 8 x} = \frac{1}{- 8 x} + \frac{- x}{- 8 x}$

Schritt 2.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 8$ .

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Schritt 2.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 8 x y}{- 8 x} = \frac{1}{- 8 x} + \frac{- x}{- 8 x}$

Schritt 2.4.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{- 8 x} + \frac{- x}{- 8 x}$

Schritt 2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{- 8 x} + \frac{- x}{- 8 x}$

Schritt 2.4.3.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{- 8 x} + \frac{- x}{- 8 x}$

Schritt 2.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{8 x} + \frac{- x}{- 8 x}$

Schritt 2.4.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.4.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{1}{8 x} + \frac{- x}{- 8 x}$

Schritt 2.4.3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{1}{8 x} + \frac{- 1}{- 8}$

Schritt 2.4.3.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{- 8 x + 1}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = - \frac{1}{8 (\frac{1}{- 8 x + 1})} + \frac{1}{8}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{- 8 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = - \frac{1}{\frac{8}{- 8 x + 1}} + \frac{1}{8}$

Schritt 4.2.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = - (1 (\frac{- 8 x + 1}{8})) + \frac{1}{8}$

Schritt 4.2.3.3

Mutltipliziere $\frac{- 8 x + 1}{8}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = - \frac{- 8 x + 1}{8} + \frac{1}{8}$

Schritt 4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = \frac{- (- 8 x + 1) + 1}{8}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = \frac{- (- 8 x) - 1 \cdot 1 + 1}{8}$

Schritt 4.2.5.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = \frac{8 x - 1 \cdot 1 + 1}{8}$

Schritt 4.2.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = \frac{8 x - 1 + 1}{8}$

Schritt 4.2.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.6.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $8 x - 1 + 1$ .

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Schritt 4.2.6.1.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = \frac{8 x + 0}{8}$

Schritt 4.2.6.1.2

Addiere $8 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = \frac{8 x}{8}$

Schritt 4.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = \frac{8 x}{8}$

Schritt 4.2.6.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 8 (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) + 1}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 8 (- \frac{1}{8 x}) - 8 (\frac{1}{8}) + 1}$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{8 x}$ in den Zähler.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 8 \frac{- 1}{8 x} - 8 (\frac{1}{8}) + 1}$

Schritt 4.3.3.2.2

Faktorisiere $8$ aus $- 8$ heraus.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{8 (- 1) (\frac{- 1}{8 x}) - 8 (\frac{1}{8}) + 1}$

Schritt 4.3.3.2.3

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{8 (- 1) (\frac{- 1}{8 (x)}) - 8 (\frac{1}{8}) + 1}$

Schritt 4.3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{8 \cdot (- 1 \frac{- 1}{8 x}) - 8 (\frac{1}{8}) + 1}$

Schritt 4.3.3.2.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 1 \frac{- 1}{x} - 8 (\frac{1}{8}) + 1}$

Schritt 4.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.3.3.3.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8$ heraus.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 1 \frac{- 1}{x} + 8 (- 1) (\frac{1}{8}) + 1}$

Schritt 4.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 1 \frac{- 1}{x} + 8 \cdot (- 1 (\frac{1}{8})) + 1}$

Schritt 4.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 1 \frac{- 1}{x} - 1 + 1}$

Schritt 4.3.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 1 (- \frac{1}{x}) - 1 + 1}$

Schritt 4.3.3.4.2

Multipliziere $- 1 (- \frac{1}{x})$ .

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Schritt 4.3.3.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{1 (\frac{1}{x}) - 1 + 1}$

Schritt 4.3.3.4.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{\frac{1}{x} - 1 + 1}$

Schritt 4.3.3.5

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

Schritt 4.3.3.6

Addiere $\frac{1}{x}$ und $0$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Schritt 4.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = 1 x$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{- 8 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}$