Finite Mathematik Beispiele

$x + 2 y = 6$

Schritt 1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = 6 - x$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 6 - x$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 6 - x$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{6}{2} + \frac{- x}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{6}{2} + \frac{- x}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{6}{2} + \frac{- x}{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Dividiere $6$ durch $2$ .

$y = 3 + \frac{- x}{2}$

Schritt 2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = 3 - \frac{x}{2}$

Schritt 3

Vertausche die Variablen.

$x = 3 - \frac{y}{2}$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $3 - \frac{y}{2} = x$ um.

$3 - \frac{y}{2} = x$

Schritt 4.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{y}{2} = x - 3$

Schritt 4.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 2$ .

$- 2 (- \frac{y}{2}) = - 2 (x - 3)$

Schritt 4.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.1.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{y}{2})$ .

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Schritt 4.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y}{2}$ in den Zähler.

$- 2 \frac{- y}{2} = - 2 (x - 3)$

Schritt 4.4.1.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{- y}{2} = - 2 (x - 3)$

Schritt 4.4.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{- y}{2} = - 2 (x - 3)$

Schritt 4.4.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - y = - 2 (x - 3)$

Schritt 4.4.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 4.4.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - 2 (x - 3)$

Schritt 4.4.1.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - 2 (x - 3)$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache $- 2 (x - 3)$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 2 x - 2 \cdot - 3$

Schritt 4.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$y = - 2 x + 6$

Schritt 5

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - 2 x + 6$

Schritt 6

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - 2 x + 6$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 3 - \frac{x}{2}$ ist.

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Schritt 6.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 6.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 6.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 6.2.2

Berechne $f^{- 1} (3 - \frac{x}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 - \frac{x}{2}) = - 2 (3 - \frac{x}{2}) + 6$

Schritt 6.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (3 - \frac{x}{2}) = - 2 \cdot 3 - 2 (- \frac{x}{2}) + 6$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (3 - \frac{x}{2}) = - 6 - 2 (- \frac{x}{2}) + 6$

Schritt 6.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{2}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (3 - \frac{x}{2}) = - 6 - 2 \frac{- x}{2} + 6$

Schritt 6.2.3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f^{- 1} (3 - \frac{x}{2}) = - 6 + 2 (- 1) (\frac{- x}{2}) + 6$

Schritt 6.2.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3 - \frac{x}{2}) = - 6 + 2 \cdot (- 1 \frac{- x}{2}) + 6$

Schritt 6.2.3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (3 - \frac{x}{2}) = - 6 - 1 (- x) + 6$

Schritt 6.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (3 - \frac{x}{2}) = - 6 + 1 x + 6$

Schritt 6.2.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (3 - \frac{x}{2}) = - 6 + x + 6$

Schritt 6.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 6 + x + 6$ .

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Schritt 6.2.4.1

Addiere $- 6$ und $6$ .

$f^{- 1} (3 - \frac{x}{2}) = x + 0$

Schritt 6.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (3 - \frac{x}{2}) = x$

Schritt 6.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 6.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 6.3.2

Berechne $f (- 2 x + 6)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- 2 x + 6) = 3 - \frac{- 2 x + 6}{2}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2 x + 6$ und $2$ .

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Schritt 6.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$f (- 2 x + 6) = 3 - \frac{2 (- x) + 6}{2}$

Schritt 6.3.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (- 2 x + 6) = 3 - \frac{2 (- x) + 2 \cdot 3}{2}$

Schritt 6.3.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (3)$ heraus.

$f (- 2 x + 6) = 3 - \frac{2 (- x + 3)}{2}$

Schritt 6.3.3.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (- 2 x + 6) = 3 - \frac{2 (- x + 3)}{2 (1)}$

Schritt 6.3.3.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 x + 6) = 3 - \frac{2 (- x + 3)}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.3.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 x + 6) = 3 - \frac{- x + 3}{1}$

Schritt 6.3.3.1.4.4

Dividiere $- x + 3$ durch $1$ .

$f (- 2 x + 6) = 3 - (- x + 3)$

Schritt 6.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 x + 6) = 3 + x - 1 \cdot 3$

Schritt 6.3.3.3

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 6.3.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 2 x + 6) = 3 + 1 x - 1 \cdot 3$

Schritt 6.3.3.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- 2 x + 6) = 3 + x - 1 \cdot 3$

Schritt 6.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- 2 x + 6) = 3 + x - 3$

Schritt 6.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 + x - 3$ .

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Schritt 6.3.4.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (- 2 x + 6) = x + 0$

Schritt 6.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (- 2 x + 6) = x$

Schritt 6.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - 2 x + 6$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 3 - \frac{x}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = - 2 x + 6$