Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = 10 x^{3}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 10 x^{3}$ als Gleichung.

$y = 10 x^{3}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 10 y^{3}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $10 y^{3} = x$ um.

$10 y^{3} = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $10 y^{3} = x$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $10 y^{3} = x$ durch $10$ .

$\frac{10 y^{3}}{10} = \frac{x}{10}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 y^{3}}{10} = \frac{x}{10}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{10}$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{10}}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{x}{10}}$ .

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Schritt 3.4.1

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{x}{10}}$ als $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{10}}^{2}}$

Schritt 3.4.3.2

Potenziere $\sqrt[3]{10}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{1} {\sqrt[3]{10}}^{2}}$

Schritt 3.4.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.4.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{3}}$

Schritt 3.4.3.5

Schreibe ${\sqrt[3]{10}}^{3}$ als $10$ um.

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Schritt 3.4.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{10}$ als $10^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{(10^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.4.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.4.3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{1}}$

Schritt 3.4.3.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.4.1

Schreibe ${\sqrt[3]{10}}^{2}$ als $\sqrt[3]{10^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{10^{2}}}{10}$

Schritt 3.4.4.2

Potenziere $10$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{100}}{10}$

Schritt 3.4.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.4.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{\sqrt[3]{x \cdot 100}}{10}$

Schritt 3.4.5.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[3]{x \cdot 100}}{10}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 10 x^{3}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (10 x^{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{100 (10 x^{3})}}{10}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $100$ mit $10$ .

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{1000 x^{3}}}{10}$

Schritt 5.2.3.2

Schreibe $1000 x^{3}$ als ${(10 x)}^{3}$ um.

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(10 x)}^{3}}}{10}$

Schritt 5.2.3.3

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{10 x}{10}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{10 x}{10}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (10 x^{3}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 {(\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10})}^{3}$

Schritt 5.3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$ an.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{\sqrt[3]{100 x}}^{3}}{10^{3}})$

Schritt 5.3.4

Schreibe ${\sqrt[3]{100 x}}^{3}$ als $100 x$ um.

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Schritt 5.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{100 x}$ als ${(100 x)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{({(100 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{10^{3}})$

Schritt 5.3.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{(100 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{10^{3}})$

Schritt 5.3.4.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{(100 x)}^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

Schritt 5.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{(100 x)}^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

Schritt 5.3.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10^{3}})$

Schritt 5.3.4.5

Vereinfache.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10^{3}})$

Schritt 5.3.5

Potenziere $10$ mit $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{1000})$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 5.3.6.1

Faktorisiere $10$ aus $1000$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10 (100)})$

Schritt 5.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10 \cdot 100})$

Schritt 5.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = \frac{100 x}{100}$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $100$ .

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Schritt 5.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = \frac{100 x}{100}$

Schritt 5.3.7.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 10 x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$