Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$ als Gleichung.

$y = \log_{2} (x - 8) + 5$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \log_{2} (y - 8) + 5$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\log_{2} (y - 8) + 5 = x$ um.

$\log_{2} (y - 8) + 5 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\log_{2} (y - 8) = x - 5$

Schritt 3.3

Schreibe $\log_{2} (y - 8) = x - 5$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$2^{x - 5} = y - 8$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $y - 8 = 2^{x - 5}$ um.

$y - 8 = 2^{x - 5}$

Schritt 3.4.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2^{x - 5} + 8$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{(\log_{2} (x - 8) + 5) - 5} + 8$

Schritt 5.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2^{(\log_{2} (x - 8) + 5) - 5} + 8$ .

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Schritt 5.2.3.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{\log_{2} (x - 8) + 0} + 8$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $\log_{2} (x - 8)$ und $0$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{\log_{2} (x - 8)} + 8$

Schritt 5.2.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x - 8 + 8$

Schritt 5.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 8 + 8$ .

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Schritt 5.2.5.1

Addiere $- 8$ und $8$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x + 0$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (2^{x - 5} + 8)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} ((2^{x - 5} + 8) - 8) + 5$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\log_{2} ((2^{x - 5} + 8) - 8) + 5$ .

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Schritt 5.3.3.1

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} (2^{x - 5} + 0) + 5$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $2^{x - 5}$ und $0$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} (2^{x - 5}) + 5$

Schritt 5.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.4.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x - 5$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (2^{x - 5} + 8) = (x - 5) \log_{2} (2) + 5$

Schritt 5.3.4.2

Die logarithmische Basis $2$ von $2$ ist $1$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = (x - 5) \cdot 1 + 5$

Schritt 5.3.4.3

Mutltipliziere $x - 5$ mit $1$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = x - 5 + 5$

Schritt 5.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 5 + 5$ .

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Schritt 5.3.5.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = x + 0$

Schritt 5.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$ .

$f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$