Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = \frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}$ als Gleichung.

$y = \frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{- 4}{7} y - \frac{16}{7}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{- 4}{7} y - \frac{16}{7} = x$ um.

$\frac{- 4}{7} y - \frac{16}{7} = x$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{7} y - \frac{16}{7} = x$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $y$ und $\frac{4}{7}$ .

$- \frac{y \cdot 4}{7} - \frac{16}{7} = x$

Schritt 3.2.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y$ .

$- \frac{4 y}{7} - \frac{16}{7} = x$

Schritt 3.3

Addiere $\frac{16}{7}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{4 y}{7} = x + \frac{16}{7}$

Schritt 3.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{7}{4}$ .

$- \frac{7}{4} (- \frac{4 y}{7}) = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Schritt 3.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.1

Vereinfache $- \frac{7}{4} (- \frac{4 y}{7})$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.5.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7}{4}$ in den Zähler.

$\frac{- 7}{4} (- \frac{4 y}{7}) = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Schritt 3.5.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4 y}{7}$ in den Zähler.

$\frac{- 7}{4} \cdot \frac{- 4 y}{7} = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Schritt 3.5.1.1.1.3

Faktorisiere $7$ aus $- 7$ heraus.

$\frac{7 (- 1)}{4} \cdot \frac{- 4 y}{7} = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Schritt 3.5.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{- 4 y}{7} = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Schritt 3.5.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{4} (- 4 y) = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Schritt 3.5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.5.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 y$ heraus.

$\frac{- 1}{4} (4 (- y)) = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Schritt 3.5.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{4} (4 (- y)) = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Schritt 3.5.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- - y = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Schritt 3.5.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.5.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Schritt 3.5.1.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache $- \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{7}{4} x - \frac{7}{4} \cdot \frac{16}{7}$

Schritt 3.5.2.1.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{7}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 7}{4} - \frac{7}{4} \cdot \frac{16}{7}$

Schritt 3.5.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7}{4}$ in den Zähler.

$y = - \frac{x \cdot 7}{4} + \frac{- 7}{4} \cdot \frac{16}{7}$

Schritt 3.5.2.1.1.3.2

Faktorisiere $7$ aus $- 7$ heraus.

$y = - \frac{x \cdot 7}{4} + \frac{7 (- 1)}{4} \cdot \frac{16}{7}$

Schritt 3.5.2.1.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x \cdot 7}{4} + \frac{7 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{16}{7}$

Schritt 3.5.2.1.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x \cdot 7}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot 16$

Schritt 3.5.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$y = - \frac{x \cdot 7}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot (4 (4))$

Schritt 3.5.2.1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x \cdot 7}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot (4 \cdot 4)$

Schritt 3.5.2.1.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x \cdot 7}{4} - 1 \cdot 4$

Schritt 3.5.2.1.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 7}{4} - 4$

Schritt 3.5.2.1.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{7 x}{4} - 4$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{7 x}{4} - 4$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{7 x}{4} - 4$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{7 (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7})}{4} - 4$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{7 (- \frac{4}{7} x - \frac{16}{7})}{4} - 4$

Schritt 5.2.3.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{7}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{7 (- \frac{x \cdot 4}{7} - \frac{16}{7})}{4} - 4$

Schritt 5.2.3.1.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{7 (- \frac{4 \cdot x}{7} - \frac{16}{7})}{4} - 4$

Schritt 5.2.3.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{4 x}{7} - \frac{16}{7}$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{4 x}{7}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{7 (- (\frac{4 x}{7}) - \frac{16}{7})}{4} - 4$

Schritt 5.2.3.1.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{16}{7}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{7 (- (\frac{4 x}{7}) - (\frac{16}{7}))}{4} - 4$

Schritt 5.2.3.1.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\frac{4 x}{7}) - (\frac{16}{7})$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{7 (- (\frac{4 x}{7} + \frac{16}{7}))}{4} - 4$

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{7 \cdot (- 1 (\frac{4 x}{7} + \frac{16}{7}))}{4} - 4$

Schritt 5.2.3.1.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.2.3.1.5.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{- (7 (\frac{4 x}{7} + \frac{16}{7}))}{4} - 4$

Schritt 5.2.3.1.5.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{- 7 (\frac{4 x}{7} + \frac{16}{7})}{4} - 4$

Schritt 5.2.3.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{- 7 \frac{4 x + 16}{7}}{4} - 4$

Schritt 5.2.3.1.7

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 16$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{- 7 \frac{4 (x) + 16}{7}}{4} - 4$

Schritt 5.2.3.1.7.2

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{- 7 \frac{4 x + 4 \cdot 4}{7}}{4} - 4$

Schritt 5.2.3.1.7.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 4 \cdot 4$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{- 7 \frac{4 (x + 4)}{7}}{4} - 4$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{4 (x + 4)}{7}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{\frac{- 7 (4 (x + 4))}{7}}{4} - 4$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{\frac{- 28 (x + 4)}{7}}{4} - 4$

Schritt 5.2.3.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{- 28 (x + 4)}{7}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.1.1

Faktorisiere $7$ aus $- 28 (x + 4)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{\frac{7 (- 4 (x + 4))}{7}}{4} - 4$

Schritt 5.2.3.4.1.2

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{\frac{7 (- 4 (x + 4))}{7 (1)}}{4} - 4$

Schritt 5.2.3.4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{\frac{7 (- 4 (x + 4))}{7 \cdot 1}}{4} - 4$

Schritt 5.2.3.4.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{\frac{- 4 (x + 4)}{1}}{4} - 4$

Schritt 5.2.3.4.2

Dividiere $- 4 (x + 4)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{- 4 (x + 4)}{4} - 4$

Schritt 5.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $4$ .

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Schritt 5.2.3.5.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 (x + 4)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{4 (- (x + 4))}{4} - 4$

Schritt 5.2.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{4 (- (x + 4))}{4 (1)} - 4$

Schritt 5.2.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{4 (- (x + 4))}{4 \cdot 1} - 4$

Schritt 5.2.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{- (x + 4)}{1} - 4$

Schritt 5.2.3.5.2.4

Dividiere $- (x + 4)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = (x + 4) - 4$

Schritt 5.2.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - (- x - 1 \cdot 4) - 4$

Schritt 5.2.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - (- x - 4) - 4$

Schritt 5.2.3.8

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = x + 4 - 4$

Schritt 5.2.3.9

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 5.2.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = 1 x + 4 - 4$

Schritt 5.2.3.9.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = x + 4 - 4$

Schritt 5.2.3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = x + 4 - 4$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 4 - 4$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{7 x}{4} - 4)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = \frac{- 4}{7} \cdot (- \frac{7 x}{4} - 4) - \frac{16}{7}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = - \frac{4}{7} \cdot (- \frac{7 x}{4} - 4) - \frac{16}{7}$

Schritt 5.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = - \frac{4}{7} \cdot (- \frac{7 x}{4}) - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{7}$ in den Zähler.

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = \frac{- 4}{7} \cdot (- \frac{7 x}{4}) - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Schritt 5.3.3.3.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7 x}{4}$ in den Zähler.

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = \frac{- 4}{7} \cdot \frac{- 7 x}{4} - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Schritt 5.3.3.3.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = \frac{4 (- 1)}{7} \cdot \frac{- 7 x}{4} - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Schritt 5.3.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = \frac{4 \cdot - 1}{7} \cdot \frac{- 7 x}{4} - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Schritt 5.3.3.3.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = \frac{- 1}{7} \cdot (- 7 x) - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Faktorisiere $7$ aus $- 7 x$ heraus.

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = \frac{- 1}{7} \cdot (7 (- x)) - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Schritt 5.3.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = \frac{- 1}{7} \cdot (7 (- x)) - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Schritt 5.3.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = - 1 (- x) - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Schritt 5.3.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = 1 x - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Schritt 5.3.3.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = x - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Schritt 5.3.3.7

Multipliziere $- \frac{4}{7} \cdot - 4$ .

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Schritt 5.3.3.7.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = x + 4 (\frac{4}{7}) - \frac{16}{7}$

Schritt 5.3.3.7.2

Kombiniere $4$ und $\frac{4}{7}$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = x + \frac{4 \cdot 4}{7} - \frac{16}{7}$

Schritt 5.3.3.7.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = x + \frac{16}{7} - \frac{16}{7}$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + \frac{16}{7} - \frac{16}{7}$ .

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Schritt 5.3.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = x + \frac{16 - 16}{7}$

Schritt 5.3.4.2

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = x + \frac{0}{7}$

Schritt 5.3.4.3

Dividiere $0$ durch $7$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = x + 0$

Schritt 5.3.4.4

Addiere $x$ und $0$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{7 x}{4} - 4$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{7 x}{4} - 4$