Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y})$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}) = x$ um.

$\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}) = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y})) = 2 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} (- e^{y})) = 2 x$

Schritt 3.3.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $5$ .

$2 (\frac{5}{2} + \frac{1}{2} (- e^{y})) = 2 x$

Schritt 3.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{y}$ .

$2 (\frac{5}{2} - \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

Schritt 3.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{5}{2}) + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

Schritt 3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{5}{2}) + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

Schritt 3.3.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$5 + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

Schritt 3.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{y}}{2}$ in den Zähler.

$5 + 2 \frac{- e^{y}}{2} = 2 x$

Schritt 3.3.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 + 2 \frac{- e^{y}}{2} = 2 x$

Schritt 3.3.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$5 - e^{y} = 2 x$

Schritt 3.4

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- e^{y} = 2 x - 5$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $- e^{y} = 2 x - 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- e^{y} = 2 x - 5$ durch $- 1$ .

$\frac{- e^{y}}{- 1} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{e^{y}}{1} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2

Dividiere $e^{y}$ durch $1$ .

$e^{y} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 x}{- 1}$ .

$e^{y} = - 1 \cdot (2 x) + \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 3.5.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (2 x)$ als $- (2 x)$ um.

$e^{y} = - (2 x) + \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 3.5.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{y} = - 2 x + \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 3.5.3.1.4

Dividiere $- 5$ durch $- 1$ .

$e^{y} = - 2 x + 5$

Schritt 3.6

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y}) = \ln (- 2 x + 5)$

Schritt 3.7

Multipliziere die linke Seite aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Zerlege $\ln (e^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (e) = \ln (- 2 x + 5)$

Schritt 3.7.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (- 2 x + 5)$

Schritt 3.7.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = \ln (- 2 x + 5)$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) + 5)$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot (- e^{x})) + 5)$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- e^{x})) + 5)$

Schritt 5.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2} - \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Schritt 5.2.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2}) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Schritt 5.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (2 (- 1) (\frac{5}{2}) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Schritt 5.2.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (2 \cdot (- 1 (\frac{5}{2})) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Schritt 5.2.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 1 \cdot 5 - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Schritt 5.2.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Schritt 5.2.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{x}}{2}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 2 \frac{- e^{x}}{2} + 5)$

Schritt 5.2.3.7.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 2 (- 1) (\frac{- e^{x}}{2}) + 5)$

Schritt 5.2.3.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 2 \cdot (- 1 \frac{- e^{x}}{2}) + 5)$

Schritt 5.2.3.7.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 1 (- e^{x}) + 5)$

Schritt 5.2.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 1 e^{x} + 5)$

Schritt 5.2.3.9

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + e^{x} + 5)$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 5 + e^{x} + 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (0 + e^{x})$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $0$ und $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (e^{x})$

Schritt 5.2.5

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x \ln (e)$

Schritt 5.2.6

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x \cdot 1$

Schritt 5.2.7

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\ln (- 2 x + 5))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{\ln (- 2 x + 5)})$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - (- 2 x + 5))$

Schritt 5.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - (- 2 x) - 1 \cdot 5)$

Schritt 5.3.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 + 2 x - 1 \cdot 5)$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 + 2 x - 5)$

Schritt 5.3.4

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 + 2 x - 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x + 0)$

Schritt 5.3.4.1.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Schritt 5.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Schritt 5.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Schritt 5.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$