Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x^{5} + 2}{7}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x^{5} + 2}{7}$ als Gleichung.

$y = \frac{x^{5} + 2}{7}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y^{5} + 2}{7}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y^{5} + 2}{7} = x$ um.

$\frac{y^{5} + 2}{7} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $7$ .

$7 \frac{y^{5} + 2}{7} = 7 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 \frac{y^{5} + 2}{7} = 7 x$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{5} + 2 = 7 x$

Schritt 3.4

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{5} = 7 x - 2$

Schritt 3.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[5]{7 x - 2}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{7 x - 2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{7 x - 2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x^{5} + 2}{7}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x^{5} + 2}{7})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} + 2}{7}) = \sqrt[5]{7 (\frac{x^{5} + 2}{7}) - 2}$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} + 2}{7}) = \sqrt[5]{7 (\frac{x^{5} + 2}{7}) - 2}$

Schritt 5.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} + 2}{7}) = \sqrt[5]{x^{5} + 2 - 2}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} + 2}{7}) = \sqrt[5]{x^{5} + 0}$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x^{5}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} + 2}{7}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Schritt 5.2.5

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} + 2}{7}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\sqrt[5]{7 x - 2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[5]{7 x - 2}) = \frac{{(\sqrt[5]{7 x - 2})}^{5} + 2}{7}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{7 x - 2}$ als ${(7 x - 2)}^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[5]{7 x - 2}) = \frac{{({(7 x - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{5} + 2}{7}$

Schritt 5.3.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(7 x - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{7 x - 2}) = \frac{{(7 x - 2)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} + 2}{7}$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[5]{7 x - 2}) = \frac{{(7 x - 2)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} + 2}{7}$

Schritt 5.3.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[5]{7 x - 2}) = \frac{(7 x - 2) + 2}{7}$

Schritt 5.3.3.3

Vereinfache.

$f (\sqrt[5]{7 x - 2}) = \frac{7 x - 2 + 2}{7}$

Schritt 5.3.3.4

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f (\sqrt[5]{7 x - 2}) = \frac{7 x + 0}{7}$

Schritt 5.3.3.5

Addiere $7 x$ und $0$ .

$f (\sqrt[5]{7 x - 2}) = \frac{7 x}{7}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[5]{7 x - 2}) = \frac{7 x}{7}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\sqrt[5]{7 x - 2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{7 x - 2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x^{5} + 2}{7}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{7 x - 2}$