Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ als Gleichung.

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y^{2}}{y^{2} - 1}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Gleichung mit $y^{2} - 1$ .

$(y^{2} - 1) (x) = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $(y^{2} - 1) (x)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} x - 1 x = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y^{2} x - x = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $(\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y^{2} x - x = \frac{y^{2}}{y^{2} - 1^{2}} (y^{2} - 1)$

Schritt 3.3.1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 1$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2}}{(y + 1) (y - 1)} (y^{2} - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $\frac{y^{2}}{(y + 1) (y - 1)}$ mit $y^{2} - 1$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y^{2} - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y^{2} - 1^{2})}{(y + 1) (y - 1)}$

Schritt 3.3.1.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 1$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Schritt 3.3.1.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

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Schritt 3.3.1.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Schritt 3.3.1.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y - 1)}{y - 1}$

Schritt 3.3.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 3.3.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y - 1)}{y - 1}$

Schritt 3.3.1.4.2.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} x - x = y^{2}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} x - x - y^{2} = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} x - y^{2} = x$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} x - y^{2}$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} x$ heraus.

$y^{2} (x) - y^{2} = x$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- y^{2}$ heraus.

$y^{2} (x) + y^{2} \cdot - 1 = x$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} (x) + y^{2} \cdot - 1$ heraus.

$y^{2} (x - 1) = x$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y^{2} (x - 1) = x$ durch $x - 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y^{2} (x - 1) = x$ durch $x - 1$ .

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{x - 1}$

Schritt 3.4.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$

Schritt 3.4.6

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ .

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Schritt 3.4.6.1

Schreibe $\sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ als $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$

Schritt 3.4.6.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ mit $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}} \cdot \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$

Schritt 3.4.6.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.6.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ mit $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1}}$

Schritt 3.4.6.3.2

Potenziere $\sqrt{x - 1}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1} \sqrt{x - 1}}$

Schritt 3.4.6.3.3

Potenziere $\sqrt{x - 1}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1} {\sqrt{x - 1}}^{1}}$

Schritt 3.4.6.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.6.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{2}}$

Schritt 3.4.6.3.6

Schreibe ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ als $x - 1$ um.

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Schritt 3.4.6.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 1}$ als ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.6.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.6.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.6.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.6.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.6.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{1}}$

Schritt 3.4.6.3.6.5

Vereinfache.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{x - 1}$

Schritt 3.4.6.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Schritt 3.4.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Schritt 3.4.7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Schritt 3.4.7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ ist.

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Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ und $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0] \cup (1, \infty)$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x (x - 1)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x (x - 1) \geq 0$

Schritt 5.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 5.3.2.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.3.2.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.3.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 5.3.2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5.3.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 1) \geq 0$ wahr machen.

$x = 0, 1$

Schritt 5.3.2.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 5.3.2.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.3.2.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.2.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 5.3.2.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 2) ((- 2) - 1) \geq 0$

Schritt 5.3.2.6.1.3

Die linke Seite $6$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 5.3.2.6.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.2.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.5$

Schritt 5.3.2.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(0.5) ((0.5) - 1) \geq 0$

Schritt 5.3.2.6.2.3

Die linke Seite $- 0.25$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 5.3.2.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.2.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 5.3.2.6.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(4) ((4) - 1) \geq 0$

Schritt 5.3.2.6.3.3

Die linke Seite $12$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 5.3.2.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Wahr

$0 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

$x < 0$ Wahr

$0 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

Schritt 5.3.2.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq 0$ oder $x \geq 1$

Schritt 5.3.3

Setze den Nenner in $\frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 1 = 0$

Schritt 5.3.4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5.3.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0] \cup (1, \infty)$

Schritt 5.4

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 1 = 0$

Schritt 5.4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 1$

Schritt 5.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 5.4.2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 5.4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 5.4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 5.4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 5.4.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 5.5

Da der Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ der Wertebereich von $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ ist und der Wertebereich von $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ der Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ die inverse Funktion von $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Schritt 6