Finite Mathematik Beispiele

$6 x - 7 y - 3 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $6 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 7 y - 3 = - 6 x$

Schritt 1.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 7 y = - 6 x + 3$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $- 7 y = - 6 x + 3$ durch $- 7$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 7 y = - 6 x + 3$ durch $- 7$ .

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{- 6 x}{- 7} + \frac{3}{- 7}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 7$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{- 6 x}{- 7} + \frac{3}{- 7}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 6 x}{- 7} + \frac{3}{- 7}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{6 x}{7} + \frac{3}{- 7}$

Schritt 2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{6 x}{7} - \frac{3}{7}$

Schritt 3

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{6 y}{7} - \frac{3}{7}$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{6 y}{7} - \frac{3}{7} = x$ um.

$\frac{6 y}{7} - \frac{3}{7} = x$

Schritt 4.2

Addiere $\frac{3}{7}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{6 y}{7} = x + \frac{3}{7}$

Schritt 4.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{7}{6}$ .

$\frac{7}{6} \cdot \frac{6 y}{7} = \frac{7}{6} (x + \frac{3}{7})$

Schritt 4.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.1.1

Vereinfache $\frac{7}{6} \cdot \frac{6 y}{7}$ .

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Schritt 4.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 4.4.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7}{6} \cdot \frac{6 y}{7} = \frac{7}{6} (x + \frac{3}{7})$

Schritt 4.4.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{6} (6 y) = \frac{7}{6} (x + \frac{3}{7})$

Schritt 4.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 4.4.1.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 y$ heraus.

$\frac{1}{6} (6 (y)) = \frac{7}{6} (x + \frac{3}{7})$

Schritt 4.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{6} (6 y) = \frac{7}{6} (x + \frac{3}{7})$

Schritt 4.4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{7}{6} (x + \frac{3}{7})$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache $\frac{7}{6} (x + \frac{3}{7})$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{7}{6} x + \frac{7}{6} \cdot \frac{3}{7}$

Schritt 4.4.2.1.2

Kombiniere $\frac{7}{6}$ und $x$ .

$y = \frac{7 x}{6} + \frac{7}{6} \cdot \frac{3}{7}$

Schritt 4.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 4.4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{7 x}{6} + \frac{7}{6} \cdot \frac{3}{7}$

Schritt 4.4.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{7 x}{6} + \frac{1}{6} \cdot 3$

Schritt 4.4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.4.2.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$y = \frac{7 x}{6} + \frac{1}{3 (2)} \cdot 3$

Schritt 4.4.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{7 x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot 3$

Schritt 4.4.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{7 x}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 5

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 6

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{6} + \frac{1}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{6 x}{7} - \frac{3}{7}$ ist.

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Schritt 6.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 6.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 6.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 6.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{6 x}{7} - \frac{3}{7})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7} - \frac{3}{7}) = \frac{7 (\frac{6 x}{7} - \frac{3}{7})}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.3.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7} - \frac{3}{7}) = \frac{7 (\frac{6 x - 3}{7})}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $6 x - 3$ heraus.

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7} - \frac{3}{7}) = \frac{7 (\frac{3 (2 x) - 3}{7})}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7} - \frac{3}{7}) = \frac{7 (\frac{3 (2 x) + 3 (- 1)}{7})}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.3.1.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (2 x) + 3 (- 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7} - \frac{3}{7}) = \frac{7 (\frac{3 (2 x - 1)}{7})}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.3.2

Kombiniere $7$ und $\frac{3 (2 x - 1)}{7}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7} - \frac{3}{7}) = \frac{\frac{7 (3 (2 x - 1))}{7}}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.3.3

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7} - \frac{3}{7}) = \frac{\frac{21 (2 x - 1)}{7}}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.3.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.4.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{21 (2 x - 1)}{7}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.4.1.1

Faktorisiere $7$ aus $21 (2 x - 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7} - \frac{3}{7}) = \frac{\frac{7 (3 (2 x - 1))}{7}}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.3.4.1.2

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7} - \frac{3}{7}) = \frac{\frac{7 (3 (2 x - 1))}{7 (1)}}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.3.4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7} - \frac{3}{7}) = \frac{\frac{7 (3 (2 x - 1))}{7 \cdot 1}}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.3.4.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7} - \frac{3}{7}) = \frac{\frac{3 (2 x - 1)}{1}}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.3.4.2

Dividiere $3 (2 x - 1)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7} - \frac{3}{7}) = \frac{3 (2 x - 1)}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.3.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.5.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7} - \frac{3}{7}) = \frac{3 (2 x - 1)}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7} - \frac{3}{7}) = \frac{3 (2 x - 1)}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7} - \frac{3}{7}) = \frac{2 x - 1}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.2.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7} - \frac{3}{7}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Schritt 6.2.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x - 1 + 1$ .

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Schritt 6.2.4.2.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7} - \frac{3}{7}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Schritt 6.2.4.2.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7} - \frac{3}{7}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 6.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7} - \frac{3}{7}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 6.2.4.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7} - \frac{3}{7}) = x$

Schritt 6.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 6.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 6.3.2

Berechne $f (\frac{7 x}{6} + \frac{1}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{7 x}{6} + \frac{1}{2}) = \frac{6 (\frac{7 x}{6} + \frac{1}{2})}{7} - \frac{3}{7}$

Schritt 6.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{7 x}{6} + \frac{1}{2}) = \frac{6 (\frac{7 x}{6} + \frac{1}{2}) - 3}{7}$

Schritt 6.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{7 x}{6} + \frac{1}{2}) = \frac{6 (\frac{7 x}{6}) + 6 (\frac{1}{2}) - 3}{7}$

Schritt 6.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 6.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 x}{6} + \frac{1}{2}) = \frac{6 (\frac{7 x}{6}) + 6 (\frac{1}{2}) - 3}{7}$

Schritt 6.3.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7 x}{6} + \frac{1}{2}) = \frac{7 x + 6 (\frac{1}{2}) - 3}{7}$

Schritt 6.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{7 x}{6} + \frac{1}{2}) = \frac{7 x + 2 (3) (\frac{1}{2}) - 3}{7}$

Schritt 6.3.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 x}{6} + \frac{1}{2}) = \frac{7 x + 2 \cdot (3 (\frac{1}{2})) - 3}{7}$

Schritt 6.3.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7 x}{6} + \frac{1}{2}) = \frac{7 x + 3 - 3}{7}$

Schritt 6.3.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.3.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $7 x + 3 - 3$ .

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Schritt 6.3.5.1.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (\frac{7 x}{6} + \frac{1}{2}) = \frac{7 x + 0}{7}$

Schritt 6.3.5.1.2

Addiere $7 x$ und $0$ .

$f (\frac{7 x}{6} + \frac{1}{2}) = \frac{7 x}{7}$

Schritt 6.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 6.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 x}{6} + \frac{1}{2}) = \frac{7 x}{7}$

Schritt 6.3.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{7 x}{6} + \frac{1}{2}) = x$

Schritt 6.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{6} + \frac{1}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{6 x}{7} - \frac{3}{7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{6} + \frac{1}{2}$