Finite Mathematik Beispiele

$4 x - 3 y = 24$

Schritt 1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y = 24 - 4 x$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y = 24 - 4 x$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y = 24 - 4 x$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{24}{- 3} + \frac{- 4 x}{- 3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{24}{- 3} + \frac{- 4 x}{- 3}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{24}{- 3} + \frac{- 4 x}{- 3}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Dividiere $24$ durch $- 3$ .

$y = - 8 + \frac{- 4 x}{- 3}$

Schritt 2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - 8 + \frac{4 x}{3}$

Schritt 3

Vertausche die Variablen.

$x = - 8 + \frac{4 y}{3}$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- 8 + \frac{4 y}{3} = x$ um.

$- 8 + \frac{4 y}{3} = x$

Schritt 4.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{4 y}{3} = x + 8$

Schritt 4.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y}{3} = \frac{3}{4} (x + 8)$

Schritt 4.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.1.1

Vereinfache $\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y}{3}$ .

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Schritt 4.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.4.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y}{3} = \frac{3}{4} (x + 8)$

Schritt 4.4.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} (4 y) = \frac{3}{4} (x + 8)$

Schritt 4.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.4.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y$ heraus.

$\frac{1}{4} (4 (y)) = \frac{3}{4} (x + 8)$

Schritt 4.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} (4 y) = \frac{3}{4} (x + 8)$

Schritt 4.4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3}{4} (x + 8)$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache $\frac{3}{4} (x + 8)$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot 8$

Schritt 4.4.2.1.2

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot 8$

Schritt 4.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.4.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 (2))$

Schritt 4.4.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 \cdot 2)$

Schritt 4.4.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3 x}{4} + 3 \cdot 2$

Schritt 4.4.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y = \frac{3 x}{4} + 6$

Schritt 5

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{4} + 6$

Schritt 6

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{4} + 6$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - 8 + \frac{4 x}{3}$ ist.

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Schritt 6.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 6.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 6.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 6.2.2

Berechne $f^{- 1} (- 8 + \frac{4 x}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 8 + \frac{4 x}{3}) = \frac{3 (- 8 + \frac{4 x}{3})}{4} + 6$

Schritt 6.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8 + \frac{4 x}{3}$ und $4$ .

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Schritt 6.2.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $3 (- 8 + \frac{4 x}{3})$ heraus.

$f^{- 1} (- 8 + \frac{4 x}{3}) = \frac{4 (3 (- 2 + \frac{x}{3}))}{4} + 6$

Schritt 6.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$f^{- 1} (- 8 + \frac{4 x}{3}) = \frac{4 (3 (- 2 + \frac{x}{3}))}{4 (1)} + 6$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 8 + \frac{4 x}{3}) = \frac{4 (3 (- 2 + \frac{x}{3}))}{4 \cdot 1} + 6$

Schritt 6.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- 8 + \frac{4 x}{3}) = \frac{3 (- 2 + \frac{x}{3})}{1} + 6$

Schritt 6.2.3.1.2.4

Dividiere $3 (- 2 + \frac{x}{3})$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- 8 + \frac{4 x}{3}) = 3 (- 2 + \frac{x}{3}) + 6$

Schritt 6.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- 8 + \frac{4 x}{3}) = 3 \cdot - 2 + 3 (\frac{x}{3}) + 6$

Schritt 6.2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f^{- 1} (- 8 + \frac{4 x}{3}) = - 6 + 3 (\frac{x}{3}) + 6$

Schritt 6.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 8 + \frac{4 x}{3}) = - 6 + 3 (\frac{x}{3}) + 6$

Schritt 6.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- 8 + \frac{4 x}{3}) = - 6 + x + 6$

Schritt 6.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 6 + x + 6$ .

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Schritt 6.2.4.1

Addiere $- 6$ und $6$ .

$f^{- 1} (- 8 + \frac{4 x}{3}) = x + 0$

Schritt 6.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (- 8 + \frac{4 x}{3}) = x$

Schritt 6.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 6.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 6.3.2

Berechne $f (\frac{3 x}{4} + 6)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{3 x}{4} + 6) = - 8 + \frac{4 (\frac{3 x}{4} + 6)}{3}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\frac{3 x}{4} + 6$ und $3$ .

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Schritt 6.3.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $4 (\frac{3 x}{4} + 6)$ heraus.

$f (\frac{3 x}{4} + 6) = - 8 + \frac{3 (4 (\frac{x}{4} + 2))}{3}$

Schritt 6.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f (\frac{3 x}{4} + 6) = - 8 + \frac{3 (4 (\frac{x}{4} + 2))}{3 (1)}$

Schritt 6.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{4} + 6) = - 8 + \frac{3 (4 (\frac{x}{4} + 2))}{3 \cdot 1}$

Schritt 6.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{4} + 6) = - 8 + \frac{4 (\frac{x}{4} + 2)}{1}$

Schritt 6.3.3.1.2.4

Dividiere $4 (\frac{x}{4} + 2)$ durch $1$ .

$f (\frac{3 x}{4} + 6) = - 8 + 4 (\frac{x}{4} + 2)$

Schritt 6.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 x}{4} + 6) = - 8 + 4 (\frac{x}{4}) + 4 \cdot 2$

Schritt 6.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{4} + 6) = - 8 + 4 (\frac{x}{4}) + 4 \cdot 2$

Schritt 6.3.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{4} + 6) = - 8 + x + 4 \cdot 2$

Schritt 6.3.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (\frac{3 x}{4} + 6) = - 8 + x + 8$

Schritt 6.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 8 + x + 8$ .

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Schritt 6.3.4.1

Addiere $- 8$ und $8$ .

$f (\frac{3 x}{4} + 6) = x + 0$

Schritt 6.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{3 x}{4} + 6) = x$

Schritt 6.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{4} + 6$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - 8 + \frac{4 x}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{4} + 6$