Finite Mathematik Beispiele

$p^{1.3}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$p = y^{1.3}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $y^{1.3} = p$ um.

$y^{1.3} = p$

Schritt 2.2

Wandle den dezimalen Exponenten in einen gebrochenen Exponenten um.

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Schritt 2.2.1

Wandle die Dezimalzahl in einen Bruch um, indem du die Dezimalen über einer Potenz von Zehn notierst. Da es $1$ Ziffer rechts vom Dezimaltrennzeichen gibt, notiere die Dezimale über $10^{1}$ $(10)$ . Als Nächstes addiere die ganze Zahl links von der Dezimalen.

$y^{1 \frac{3}{10}} = p$

Schritt 2.2.2

Wandle $1 \frac{3}{10}$ in einen unechten Bruch um.

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Schritt 2.2.2.1

Eine gemischter Zahl ist die Summe seines ganzzahligen und seines gebrochenen Teils.

$y^{1 + \frac{3}{10}} = p$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $1$ und $\frac{3}{10}$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y^{\frac{10}{10} + \frac{3}{10}} = p$

Schritt 2.2.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y^{\frac{10 + 3}{10}} = p$

Schritt 2.2.2.2.3

Addiere $10$ und $3$ .

$y^{\frac{13}{10}} = p$

Schritt 2.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{1}{1.3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{13}{10}})}^{\frac{1}{1.3}} = p^{\frac{1}{1.3}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{13}{10}})}^{\frac{1}{1.3}}$ .

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Schritt 2.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{13}{10}})}^{\frac{1}{1.3}}$ .

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Schritt 2.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{13}{10} \cdot \frac{1}{1.3}} = p^{\frac{1}{1.3}}$

Schritt 2.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1.3$ .

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Schritt 2.4.1.1.1.2.1

Faktorisiere $1.3$ aus $13$ heraus.

$y^{\frac{1.3 (10)}{10} \cdot \frac{1}{1.3}} = p^{\frac{1}{1.3}}$

Schritt 2.4.1.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1.3 \cdot 10}{10} \cdot \frac{1}{1.3}} = p^{\frac{1}{1.3}}$

Schritt 2.4.1.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{\frac{10}{10}} = p^{\frac{1}{1.3}}$

Schritt 2.4.1.1.1.3

Dividiere $10$ durch $10$ .

$y^{1} = p^{\frac{1}{1.3}}$

Schritt 2.4.1.1.2

Vereinfache.

$y = p^{\frac{1}{1.3}}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Dividiere $1$ durch $1.3$ .

$y = p^{0.\overline{769230}}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (p)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (p) = p^{0.\overline{769230}}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (p) = p^{0.\overline{769230}}$ die Umkehrfunktion von $f (p) = p^{1.3}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (p)) = p$ ist und $f (f^{- 1} (p)) = p$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (p))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (p))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (p^{1.3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (p^{1.3}) = {(p^{1.3})}^{0.\overline{769230}}$

Schritt 4.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(p^{1.3})}^{0.\overline{769230}}$ .

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Schritt 4.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (p^{1.3}) = p^{1.3 \cdot 0.\overline{769230}}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $1.3$ mit $0.\overline{769230}$ .

$f^{- 1} (p^{1.3}) = p$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (p))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (p))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (p^{0.\overline{769230}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (p^{0.\overline{769230}}) = {(p^{0.\overline{769230}})}^{1.3}$

Schritt 4.3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(p^{0.\overline{769230}})}^{1.3}$ .

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Schritt 4.3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (p^{0.\overline{769230}}) = p^{0.\overline{769230} \cdot 1.3}$

Schritt 4.3.3.2

Mutltipliziere $0.\overline{769230}$ mit $1.3$ .

$f (p^{0.\overline{769230}}) = p$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (p)) = p$ und $f (f^{- 1} (p)) = p$ gleich sind, ist $f^{- 1} (p) = p^{0.\overline{769230}}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (p) = p^{1.3}$ .

$f^{- 1} (p) = p^{0.\overline{769230}}$