Finite Mathematik Beispiele

$e^{2 x}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = e^{2 y}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $e^{2 y} = x$ um.

$e^{2 y} = x$

Schritt 2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (x)$

Schritt 2.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.3.1

Zerlege $\ln (e^{2 y})$ durch Herausziehen von $2 y$ aus dem Logarithmus.

$2 y \ln (e) = \ln (x)$

Schritt 2.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 y = \ln (x)$

Schritt 2.4

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \ln (x)$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \ln (x)$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{2}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = e^{2 x}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (e^{2 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x}) = \frac{\ln (e^{2 x})}{2}$

Schritt 4.2.3

Zerlege $\ln (e^{2 x})$ durch Herausziehen von $2 x$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} (e^{2 x}) = \frac{2 x \ln (e)}{2}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (e^{2 x}) = \frac{2 x \ln (e)}{2}$

Schritt 4.2.4.2

Dividiere $x \ln (e)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x}) = x \ln (e)$

Schritt 4.2.5

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x}) = x \cdot 1$

Schritt 4.2.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\ln (x)}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2})}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2})}$

Schritt 4.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = e^{\ln (x)}$

Schritt 4.3.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = e^{2 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$