Finite Mathematik Beispiele

$0 > - x^{2} + 7 x + 12$

Schritt 1

Stelle so um, dass $x$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$- x^{2} + 7 x + 12 < 0$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- x^{2} + 7 x + 12 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = 7$ und $c = 12$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 12)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1 \cdot 12}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 12$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4 \cdot 12}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $12$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 48}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.1.3

Addiere $49$ und $48$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{97}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{97}}{- 2}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{- 7 \pm \sqrt{97}}{- 2}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{97}}{2}$

Schritt 6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{7 + \sqrt{97}}{2}, \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$

$\frac{7 - \sqrt{97}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$

$x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$0 > - {(- 4)}^{2} + 7 (- 4) + 12$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $0$ ist größer als die rechte Seite $- 32$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{7 - \sqrt{97}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{7 - \sqrt{97}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$0 > - {(0)}^{2} + 7 (0) + 12$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $0$ ist nicht größer als die rechte Seite $12$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 11$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $11$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$0 > - {(11)}^{2} + 7 (11) + 12$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $0$ ist größer als die rechte Seite $- 32$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$ Wahr

$\frac{7 - \sqrt{97}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ Falsch

$x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ Wahr

$x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$ Wahr

$\frac{7 - \sqrt{97}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ Falsch

$x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ Wahr

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$ oder $x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2} or x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \frac{7 - \sqrt{97}}{2}) \cup (\frac{7 + \sqrt{97}}{2}, \infty)$

Schritt 11