Finite Mathematik Beispiele

$\frac{x + 7}{- x - 5} < 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + 7 = 0$

$- x - 5 = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 3

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x = 5$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $- x = 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 5$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{5}{- 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{5}{- 1}$

Schritt 4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{- 1}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $5$ durch $- 1$ .

$x = - 5$

Schritt 5

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 7$

$x = - 5$

Schritt 6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 7, - 5$

Schritt 7

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x + 7}{- x - 5}$ .

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 7}{- x - 5}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- x - 5 = 0$

Schritt 7.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x = 5$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 5$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{5}{- 1}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{5}{- 1}$

Schritt 7.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{- 1}$

Schritt 7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.3.1

Dividiere $5$ durch $- 1$ .

$x = - 5$

Schritt 7.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 5$

$x > - 5$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 10) + 7}{- (- 10) - 5} < 0$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $- 0.6$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 7 < x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 7 < x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 6) + 7}{- (- 6) - 5} < 0$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $1$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) + 7}{- (0) - 5} < 0$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $- 1.4$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 7$ Wahr

$- 7 < x < - 5$ Falsch

$x > - 5$ Wahr

$x < - 7$ Wahr

$- 7 < x < - 5$ Falsch

$x > - 5$ Wahr

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 7$ oder $x > - 5$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - 7 or x > - 5$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 7) \cup (- 5, \infty)$

Schritt 12