Finite Mathematik Beispiele

$\frac{x - 3}{3 x - 1} = \frac{x + 4}{2 x + 5}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{x + 4}{2 x + 5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x - 3}{3 x - 1} - \frac{x + 4}{2 x + 5} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x - 3}{3 x - 1} - \frac{x + 4}{2 x + 5}$ .

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Schritt 2.1

Um $\frac{x - 3}{3 x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x + 5}{2 x + 5}$ .

$\frac{x - 3}{3 x - 1} \cdot \frac{2 x + 5}{2 x + 5} - \frac{x + 4}{2 x + 5} = 0$

Schritt 2.2

Um $- \frac{x + 4}{2 x + 5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$\frac{x - 3}{3 x - 1} \cdot \frac{2 x + 5}{2 x + 5} - \frac{x + 4}{2 x + 5} \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1} = 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(3 x - 1) (2 x + 5)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{x - 3}{3 x - 1}$ mit $\frac{2 x + 5}{2 x + 5}$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + 5)}{(3 x - 1) (2 x + 5)} - \frac{x + 4}{2 x + 5} \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1} = 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{x + 4}{2 x + 5}$ mit $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + 5)}{(3 x - 1) (2 x + 5)} - \frac{(x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(3 x - 1) (2 x + 5)$ um.

$\frac{(x - 3) (2 x + 5)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} - \frac{(x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x - 3) (2 x + 5) - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Multipliziere $(x - 3) (2 x + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x + 5) - 3 (2 x + 5) - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 - 3 (2 x + 5) - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.2.1.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 6 x - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.2.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 6 x - 15 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.2.2

Subtrahiere $6 x$ von $5 x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - x - 15 + (- x - 1 \cdot 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 + (- x - 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.5

Multipliziere $(- x - 4) (3 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - x (3 x - 1) - 4 (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - x (3 x) - x \cdot - 1 - 4 (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - x (3 x) - x \cdot - 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 1 \cdot 3 x \cdot x - x \cdot - 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.6.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.6.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 1 \cdot 3 (x \cdot x) - x \cdot - 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.6.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 1 \cdot 3 x^{2} - x \cdot - 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} - x \cdot - 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.6.1.4

Multipliziere $- x \cdot - 1$ .

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Schritt 2.5.6.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} + 1 x - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.6.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} + x - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.6.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} + x - 12 x - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.6.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} + x - 12 x + 4}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.6.2

Subtrahiere $12 x$ von $x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} - 11 x + 4}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.7

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - x - 15 - 11 x + 4}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.8

Subtrahiere $11 x$ von $- x$ .

$\frac{- x^{2} - 12 x - 15 + 4}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.9

Addiere $- 15$ und $4$ .

$\frac{- x^{2} - 12 x - 11}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.10

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.5.10.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 11 = 11$ und deren Summe gleich $b = - 12$ ist.

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Schritt 2.5.10.1.1

Faktorisiere $- 12$ aus $- 12 x$ heraus.

$\frac{- x^{2} - 12 (x) - 11}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.10.1.2

Schreibe $- 12$ um als $- 1$ plus $- 11$

$\frac{- x^{2} + (- 1 - 11) x - 11}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.10.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} - 1 x - 11 x - 11}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.10.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.5.10.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) - 11 x - 11}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.10.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (- x - 1) + 11 (- x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.5.10.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(- (x) - 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.7

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (x + 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.9

Schreibe $- (x + 1)$ als $- 1 (x + 1)$ um.

$\frac{- 1 (x + 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(x + 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{(x + 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(2 x + 5) (3 x - 1) = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 5 = 0$

$3 x - 1 = 0$

Schritt 4.2

Setze $2 x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $2 x + 5$ gleich $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Schritt 4.2.2

Löse $2 x + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 5$

Schritt 4.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 4.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 4.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Schritt 4.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{2}$

Schritt 4.3

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Schritt 4.3.2

Löse $3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 4.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 4.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 4.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 4.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x + 5) (3 x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{5}{2}, \frac{1}{3}$

Schritt 5

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - \frac{5}{2}, x = \frac{1}{3}$

Schritt 6