Finite Mathematik Beispiele

$\frac{\log (\sqrt{x \sqrt{x}})}{\log (\sqrt[3]{x})}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{\log (\sqrt{x \sqrt{x}})}{\log (\sqrt[3]{x})}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\log (\sqrt[3]{x}) = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe $\log (\sqrt[3]{x}) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{0} = \sqrt[3]{x}$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[3]{x} = 10^{0}$ um.

$\sqrt[3]{x} = 10^{0}$

Schritt 2.2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = {(10^{0})}^{3}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(10^{0})}^{3}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.3.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(10^{0})}^{3}$

Schritt 2.2.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(10^{0})}^{3}$

Schritt 2.2.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(10^{0})}^{3}$

Schritt 2.2.3.2.1.2

Vereinfache.

$x = {(10^{0})}^{3}$

Schritt 2.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.3.1

Vereinfache ${(10^{0})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.3.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(10^{0})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.3.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 10^{0 \cdot 3}$

Schritt 2.2.3.3.1.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $3$ .

$x = 10^{0}$

Schritt 2.2.3.3.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x = 1$

Schritt 3

Setze das Argument in $\log (\sqrt{x \sqrt{x}})$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{x \sqrt{x}} \leq 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{x \sqrt{x}}}^{2} \leq 0^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x \sqrt{x}}$ als ${(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache ${({(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x \sqrt{x})}^{1} \leq 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Vereinfache.

$x \sqrt{x} \leq 0^{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x \sqrt{x} \leq 0$

Schritt 4.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${(x \sqrt{x})}^{2} \leq 0^{2}$

Schritt 4.4

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache ${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.2.1.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.4.2.1.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

${(x^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Schritt 4.4.2.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x^{1 + \frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Schritt 4.4.2.1.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

${(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Schritt 4.4.2.1.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Schritt 4.4.2.1.1.4

Addiere $2$ und $1$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Schritt 4.4.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.4.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Schritt 4.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Schritt 4.4.2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} \leq 0^{2}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{3} \leq 0$

Schritt 4.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} \leq \sqrt[3]{0}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 4.5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x \leq \sqrt[3]{0}$

Schritt 4.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.2.2.1

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 4.5.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x \leq \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 4.5.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x \leq 0$

Schritt 5

Setze das Argument in $\log (\sqrt[3]{x})$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[3]{x} \leq 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${\sqrt[3]{x}}^{3} \leq 0^{3}$

Schritt 6.2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 6.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} \leq 0^{3}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} \leq 0^{3}$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} \leq 0^{3}$

Schritt 6.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} \leq 0^{3}$

Schritt 6.2.2.1.2

Vereinfache.

$x \leq 0^{3}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x \leq 0$

Schritt 7

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x < 0$

Schritt 8

Setze den Radikanden in $\sqrt{x \sqrt{x}}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \sqrt{x} < 0$

Schritt 9

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${(x \sqrt{x})}^{2} < 0^{2}$

Schritt 9.2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 9.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.1

Vereinfache ${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 9.2.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.2.2.1.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 9.2.2.1.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

${(x^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Schritt 9.2.2.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x^{1 + \frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Schritt 9.2.2.1.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

${(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Schritt 9.2.2.1.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Schritt 9.2.2.1.1.4

Addiere $2$ und $1$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Schritt 9.2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

Schritt 9.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

Schritt 9.2.2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} < 0^{2}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{3} < 0$

Schritt 9.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Schritt 9.3.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 9.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < \sqrt[3]{0}$

Schritt 9.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.2.1

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 9.3.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < 0$

Schritt 9.4

Bestimme den Definitionsbereich von $x \sqrt{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 9.4.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 9.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$x > 0$

Schritt 9.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 9.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 2) \sqrt{- 2} < 0$

Schritt 9.6.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.6.2

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 9.6.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(2) \sqrt{2} < 0$

Schritt 9.6.2.3

Die linke Seite $2.82842712$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.6.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$x > 0$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$x > 0$ Falsch

Schritt 9.7

Da es kein Zahlen gibt, die in das Intervall fallen, hat die Ungleichung keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 10

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0, x = 1$

$(- \infty, 0] \cup [1, 1]$

Schritt 11