Finite Mathematik Beispiele

$\frac{1}{1 - \sin^{2} (t)}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{1}{1 - \sin^{2} (t)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 - \sin^{2} (t) = 0$

Schritt 2

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sin^{2} (t) = - 1$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \sin^{2} (t) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin^{2} (t) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sin^{2} (t)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sin^{2} (t)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $\sin^{2} (t)$ durch $1$ .

$\sin^{2} (t) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\sin^{2} (t) = 1$

Schritt 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (t) = \pm \sqrt{1}$

Schritt 2.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\sin (t) = \pm 1$

Schritt 2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sin (t) = 1$

Schritt 2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sin (t) = - 1$

Schritt 2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sin (t) = 1, - 1$

Schritt 2.6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $t$ aufzulösen.

$\sin (t) = 1$

$\sin (t) = - 1$

Schritt 2.7

Löse in $\sin (t) = 1$ nach $t$ auf.

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Schritt 2.7.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$t = \arcsin (1)$

Schritt 2.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.7.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$t = \frac{π}{2}$

Schritt 2.7.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$t = π - \frac{π}{2}$

Schritt 2.7.4

Vereinfache $π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 2.7.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$t = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.7.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.7.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$t = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.7.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$t = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 2.7.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.4.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$t = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 2.7.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$t = \frac{π}{2}$

Schritt 2.7.5

Ermittele die Periode von $\sin (t)$ .

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Schritt 2.7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.7.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.7.6

Die Periode der Funktion $\sin (t)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.8

Löse in $\sin (t) = - 1$ nach $t$ auf.

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Schritt 2.8.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$t = \arcsin (- 1)$

Schritt 2.8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.8.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$t = - \frac{π}{2}$

Schritt 2.8.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$t = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 2.8.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 2.8.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$t = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 2.8.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$t = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.8.5

Ermittele die Periode von $\sin (t)$ .

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Schritt 2.8.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.8.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.8.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.8.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.8.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 2.8.6.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{2}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Schritt 2.8.6.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.8.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.8.6.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.8.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 2.8.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.6.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Schritt 2.8.6.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 2.8.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$t = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.8.7

Die Periode der Funktion $\sin (t)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$t = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.9

Liste alle Lösungen auf.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$t = \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

${t | t = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4