Finite Mathematik Beispiele

$\frac{\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}{1 + \frac{4}{x}}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{4}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}{1 + \frac{4}{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 + \frac{4}{x} = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{4}{x} = - 1$

Schritt 4.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 1$

Schritt 4.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 4.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{4}{x} = - 1$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{4}{x} = - 1$ mit $x$ .

$\frac{4}{x} x = - x$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{x} x = - x$

Schritt 4.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 = - x$

Schritt 4.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Schreibe die Gleichung als $- x = 4$ um.

$- x = 4$

Schritt 4.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

Schritt 4.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{4}{- 1}$

Schritt 4.4.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{- 1}$

Schritt 4.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.3.1

Dividiere $4$ durch $- 1$ .

$x = - 4$

Schritt 5

Setze den Radikanden in $\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 + \frac{4}{x^{2}} < 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{4}{x^{2}} < - 1$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten mit $x^{2}$ .

$\frac{4}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Schritt 6.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 = - x^{2}$

Schritt 6.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Schreibe die Gleichung als $- x^{2} = 4$ um.

$- x^{2} = 4$

Schritt 6.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

Schritt 6.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{4}{- 1}$

Schritt 6.4.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{- 1}$

Schritt 6.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.3.1

Dividiere $4$ durch $- 1$ .

$x^{2} = - 4$

Schritt 6.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Schritt 6.4.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Schritt 6.4.4.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Schritt 6.4.4.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Schritt 6.4.4.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Schritt 6.4.4.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Schritt 6.4.4.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 2$

Schritt 6.4.4.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 2 i$

Schritt 6.4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 i$

Schritt 6.4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 i$

Schritt 6.4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 i, - 2 i$

Schritt 6.5

Bestimme den Definitionsbereich von $1 + \frac{4}{x^{2}}$ .

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Schritt 6.5.1

Setze den Nenner in $\frac{4}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 6.5.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 6.5.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 6.5.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 6.5.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 6.5.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.5.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6.6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$x > 0$

Schritt 6.7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 6.7.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$1 + \frac{4}{{(- 2)}^{2}} < 0$

Schritt 6.7.1.3

Die linke Seite $2$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.7.2

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 6.7.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$1 + \frac{4}{{(2)}^{2}} < 0$

Schritt 6.7.2.3

Die linke Seite $2$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.7.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$x > 0$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$x > 0$ Falsch

Schritt 6.8

Da es kein Zahlen gibt, die in das Intervall fallen, hat die Ungleichung keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 7

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 4, x = 0$

Schritt 8