Finite Mathematik Beispiele

$(- 4, 8)$

Schritt 1

Um eine Exponentialfunktion, $f (x) = a^{x}$ , zu ermitteln, die den Punkt enthält, setze $f (x)$ in der Funktion gleich dem $y$ -Wert $8$ des Punktes und setze $x$ gleich dem $x$ -Wert $- 4$ des Punktes.

$8 = a^{- 4}$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $a$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $a^{- 4} = 8$ um.

$a^{- 4} = 8$

Schritt 2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{a^{4}} = 8$

Schritt 2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$a^{4}, 1$

Schritt 2.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$a^{4}$

Schritt 2.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{a^{4}} = 8$ mit $a^{4}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{a^{4}} = 8$ mit $a^{4}$ .

$\frac{1}{a^{4}} a^{4} = 8 a^{4}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a^{4}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{a^{4}} a^{4} = 8 a^{4}$

Schritt 2.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = 8 a^{4}$

Schritt 2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $8 a^{4} = 1$ um.

$8 a^{4} = 1$

Schritt 2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $8 a^{4} = 1$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 a^{4} = 1$ durch $8$ .

$\frac{8 a^{4}}{8} = \frac{1}{8}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 a^{4}}{8} = \frac{1}{8}$

Schritt 2.5.2.2.1.2

Dividiere $a^{4}$ durch $1$ .

$a^{4} = \frac{1}{8}$

Schritt 2.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$a = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{8}}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{8}}$ .

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Schritt 2.5.4.1

Schreibe $\sqrt[4]{\frac{1}{8}}$ als $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{8}}$ um.

$a = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{8}}$

Schritt 2.5.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$a = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{8}}$

Schritt 2.5.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[4]{8}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{8}}^{3}}{{\sqrt[4]{8}}^{3}}$ .

$a = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{8}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{8}}^{3}}{{\sqrt[4]{8}}^{3}}$

Schritt 2.5.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[4]{8}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{8}}^{3}}{{\sqrt[4]{8}}^{3}}$ .

$a = \pm \frac{{\sqrt[4]{8}}^{3}}{\sqrt[4]{8} {\sqrt[4]{8}}^{3}}$

Schritt 2.5.4.4.2

Potenziere $\sqrt[4]{8}$ mit $1$ .

$a = \pm \frac{{\sqrt[4]{8}}^{3}}{{\sqrt[4]{8}}^{1} {\sqrt[4]{8}}^{3}}$

Schritt 2.5.4.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a = \pm \frac{{\sqrt[4]{8}}^{3}}{{\sqrt[4]{8}}^{1 + 3}}$

Schritt 2.5.4.4.4

Addiere $1$ und $3$ .

$a = \pm \frac{{\sqrt[4]{8}}^{3}}{{\sqrt[4]{8}}^{4}}$

Schritt 2.5.4.4.5

Schreibe ${\sqrt[4]{8}}^{4}$ als $8$ um.

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Schritt 2.5.4.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{8}$ als $8^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$a = \pm \frac{{\sqrt[4]{8}}^{3}}{{(8^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Schritt 2.5.4.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = \pm \frac{{\sqrt[4]{8}}^{3}}{8^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Schritt 2.5.4.4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$a = \pm \frac{{\sqrt[4]{8}}^{3}}{8^{\frac{4}{4}}}$

Schritt 2.5.4.4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.5.4.4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = \pm \frac{{\sqrt[4]{8}}^{3}}{8^{\frac{4}{4}}}$

Schritt 2.5.4.4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$a = \pm \frac{{\sqrt[4]{8}}^{3}}{8^{1}}$

Schritt 2.5.4.4.5.5

Berechne den Exponenten.

$a = \pm \frac{{\sqrt[4]{8}}^{3}}{8}$

Schritt 2.5.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.4.5.1

Schreibe ${\sqrt[4]{8}}^{3}$ als $\sqrt[4]{8^{3}}$ um.

$a = \pm \frac{\sqrt[4]{8^{3}}}{8}$

Schritt 2.5.4.5.2

Potenziere $8$ mit $3$ .

$a = \pm \frac{\sqrt[4]{512}}{8}$

Schritt 2.5.4.5.3

Schreibe $512$ als $4^{4} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.5.4.5.3.1

Faktorisiere $256$ aus $512$ heraus.

$a = \pm \frac{\sqrt[4]{256 (2)}}{8}$

Schritt 2.5.4.5.3.2

Schreibe $256$ als $4^{4}$ um.

$a = \pm \frac{\sqrt[4]{4^{4} \cdot 2}}{8}$

Schritt 2.5.4.5.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$a = \pm \frac{4 \sqrt[4]{2}}{8}$

Schritt 2.5.4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 2.5.4.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt[4]{2}$ heraus.

$a = \pm \frac{4 (\sqrt[4]{2})}{8}$

Schritt 2.5.4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.4.6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$a = \pm \frac{4 \sqrt[4]{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 2.5.4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = \pm \frac{4 \sqrt[4]{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 2.5.4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$a = \pm \frac{\sqrt[4]{2}}{2}$

Schritt 2.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$a = \frac{\sqrt[4]{2}}{2}$

Schritt 2.5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$a = - \frac{\sqrt[4]{2}}{2}$

Schritt 2.5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$a = \frac{\sqrt[4]{2}}{2}, - \frac{\sqrt[4]{2}}{2}$

Schritt 3

Setze jeden Wert für $a$ erneut in die Funktion $f (x) = a^{x}$ ein, um jede mögliche Exponentialfunktion zu ermitteln.

$f (x) = {(\frac{\sqrt[4]{2}}{2})}^{x}, f (x) = {(- \frac{\sqrt[4]{2}}{2})}^{x}$