Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = 3 x^{3} + \frac{2}{3} x^{2} - x + 3 \sqrt[3]{x}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (x) = 3 x^{3} + \frac{2}{3} x^{2} - x + 3 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $3 x^{3} + \frac{2}{3} x^{2} - x + 3 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

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Schritt 2.1

Stelle $\frac{2}{3}$ und $x^{2}$ um.

$f (x) = 3 x^{3} + x^{2} (\frac{2}{3}) - x + 3 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{8}{3}}) + x^{2} (\frac{2}{3}) - x + 3 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $x^{2} \frac{2}{3}$ heraus.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{8}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{5}{3}} (\frac{2}{3})) - x + 3 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.4

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $- x$ heraus.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{8}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{5}{3}} (\frac{2}{3})) + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{2}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.5

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $3 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{8}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{5}{3}} (\frac{2}{3})) + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{2}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 3$

Schritt 2.6

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{8}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{5}{3}} \frac{2}{3})$ heraus.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{8}{3}} + x^{\frac{5}{3}} (\frac{2}{3})) + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{2}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 3$

Schritt 2.7

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{8}{3}} + x^{\frac{5}{3}} \frac{2}{3}) + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{2}{3}})$ heraus.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{8}{3}} + x^{\frac{5}{3}} (\frac{2}{3}) - x^{\frac{2}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 3$

Schritt 2.8

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{8}{3}} + x^{\frac{5}{3}} \frac{2}{3} - x^{\frac{2}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 3$ heraus.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{8}{3}} + x^{\frac{5}{3}} (\frac{2}{3}) - x^{\frac{2}{3}} + 3)$

Schritt 3

Kombiniere $x^{\frac{5}{3}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{8}{3}} + \frac{x^{\frac{5}{3}} \cdot 2}{3} - x^{\frac{2}{3}} + 3)$

Schritt 4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{5}{3}}$ .

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{8}{3}} + \frac{2 \cdot x^{\frac{5}{3}}}{3} - x^{\frac{2}{3}} + 3)$

Schritt 5

Mutltipliziere $2$ mit $x^{\frac{5}{3}}$ .

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{8}{3}} + \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3} - x^{\frac{2}{3}} + 3)$

Schritt 6

Stelle die Terme um.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{8}{3}} - x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + 3)$

Schritt 7

Um $3 x^{\frac{8}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{8}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + 3)$

Schritt 8

Kombiniere $3 x^{\frac{8}{3}}$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 x^{\frac{8}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + 3)$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 x^{\frac{8}{3}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + 3)$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $x^{\frac{5}{3}}$ aus $3 x^{\frac{8}{3}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{5}{3}}$ heraus.

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Schritt 10.1.1

Bewege $x^{\frac{8}{3}}$ .

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 \cdot (3 x^{\frac{8}{3}}) + 2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + 3)$

Schritt 10.1.2

Faktorisiere $x^{\frac{5}{3}}$ aus $3 \cdot 3 x^{\frac{8}{3}}$ heraus.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{2}{3}} + \frac{x^{\frac{5}{3}} (3 \cdot (3 x^{\frac{3}{3}})) + 2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + 3)$

Schritt 10.1.3

Faktorisiere $x^{\frac{5}{3}}$ aus $2 x^{\frac{5}{3}}$ heraus.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{2}{3}} + \frac{x^{\frac{5}{3}} (3 \cdot (3 x^{\frac{3}{3}})) + x^{\frac{5}{3}} \cdot 2}{3} + 3)$

Schritt 10.1.4

Faktorisiere $x^{\frac{5}{3}}$ aus $x^{\frac{5}{3}} (3 \cdot 3 x^{\frac{3}{3}}) + x^{\frac{5}{3}} \cdot 2$ heraus.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{2}{3}} + \frac{x^{\frac{5}{3}} (3 \cdot (3 x^{\frac{3}{3}}) + 2)}{3} + 3)$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{2}{3}} + \frac{x^{\frac{5}{3}} (9 x^{\frac{3}{3}} + 2)}{3} + 3)$

Schritt 10.3

Dividiere $3$ durch $3$ .

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{2}{3}} + \frac{x^{\frac{5}{3}} (9 x + 2)}{3} + 3)$

Schritt 10.4

Vereinfache.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{2}{3}} + \frac{x^{\frac{5}{3}} (9 x + 2)}{3} + 3)$

Schritt 11

Um $- x^{\frac{2}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{5}{3}} (9 x + 2)}{3} + 3)$

Schritt 12

Kombiniere $- x^{\frac{2}{3}}$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{- x^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{5}{3}} (9 x + 2)}{3} + 3)$

Schritt 13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{- x^{\frac{2}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{5}{3}} (9 x + 2)}{3} + 3)$

Schritt 14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.1

Faktorisiere $x^{\frac{2}{3}}$ aus $- x^{\frac{2}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{5}{3}} (9 x + 2)$ heraus.

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Schritt 14.1.1

Bewege $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{- 1 \cdot (3 x^{\frac{2}{3}}) + x^{\frac{5}{3}} (9 x + 2)}{3} + 3)$

Schritt 14.1.2

Faktorisiere $x^{\frac{2}{3}}$ aus $- 1 \cdot 3 x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{x^{\frac{2}{3}} (- 1 \cdot 3) + x^{\frac{5}{3}} (9 x + 2)}{3} + 3)$

Schritt 14.1.3

Faktorisiere $x^{\frac{2}{3}}$ aus $x^{\frac{5}{3}} (9 x + 2)$ heraus.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{x^{\frac{2}{3}} (- 1 \cdot 3) + x^{\frac{2}{3}} (x^{\frac{3}{3}} (9 x + 2))}{3} + 3)$

Schritt 14.1.4

Faktorisiere $x^{\frac{2}{3}}$ aus $x^{\frac{2}{3}} (- 1 \cdot 3) + x^{\frac{2}{3}} (x^{\frac{3}{3}} (9 x + 2))$ heraus.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{x^{\frac{2}{3}} (- 1 \cdot 3 + x^{\frac{3}{3}} (9 x + 2))}{3} + 3)$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{x^{\frac{2}{3}} (- 3 + x^{\frac{3}{3}} (9 x + 2))}{3} + 3)$

Schritt 14.3

Dividiere $3$ durch $3$ .

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{x^{\frac{2}{3}} (- 3 + x (9 x + 2))}{3} + 3)$

Schritt 14.4

Vereinfache.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{x^{\frac{2}{3}} (- 3 + x (9 x + 2))}{3} + 3)$

Schritt 14.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{x^{\frac{2}{3}} (- 3 + x (9 x) + x \cdot 2)}{3} + 3)$

Schritt 14.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{x^{\frac{2}{3}} (- 3 + 9 x \cdot x + x \cdot 2)}{3} + 3)$

Schritt 14.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{x^{\frac{2}{3}} (- 3 + 9 x \cdot x + 2 \cdot x)}{3} + 3)$

Schritt 14.8

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 14.8.1

Bewege $x$ .

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{x^{\frac{2}{3}} (- 3 + 9 (x \cdot x) + 2 \cdot x)}{3} + 3)$

Schritt 14.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{x^{\frac{2}{3}} (- 3 + 9 x^{2} + 2 \cdot x)}{3} + 3)$

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{x^{\frac{2}{3}} (- 3 + 9 x^{2} + 2 x)}{3} + 3)$

Schritt 14.9

Stelle die Terme um.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{x^{\frac{2}{3}} (9 x^{2} + 2 x - 3)}{3} + 3)$

Schritt 15

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{x^{\frac{2}{3}} (9 x^{2} + 2 x - 3)}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 16

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{x^{\frac{2}{3}} (9 x^{2} + 2 x - 3)}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3})$

Schritt 17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{x^{\frac{2}{3}} (9 x^{2} + 2 x - 3) + 3 \cdot 3}{3})$

Schritt 18

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{x^{\frac{2}{3}} (9 x^{2}) + x^{\frac{2}{3}} (2 x) + x^{\frac{2}{3}} \cdot - 3 + 3 \cdot 3}{3})$

Schritt 18.2

Vereinfache.

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Schritt 18.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{9 x^{\frac{2}{3}} x^{2} + x^{\frac{2}{3}} (2 x) + x^{\frac{2}{3}} \cdot - 3 + 3 \cdot 3}{3})$

Schritt 18.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{9 x^{\frac{2}{3}} x^{2} + 2 x^{\frac{2}{3}} x + x^{\frac{2}{3}} \cdot - 3 + 3 \cdot 3}{3})$

Schritt 18.2.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{9 x^{\frac{2}{3}} x^{2} + 2 x^{\frac{2}{3}} x - 3 \cdot x^{\frac{2}{3}} + 3 \cdot 3}{3})$

Schritt 18.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 18.3.1

Multipliziere $x^{\frac{2}{3}}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 18.3.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{9 (x^{2} x^{\frac{2}{3}}) + 2 x^{\frac{2}{3}} x - 3 \cdot x^{\frac{2}{3}} + 3 \cdot 3}{3})$

Schritt 18.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{9 x^{2 + \frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{2}{3}} x - 3 \cdot x^{\frac{2}{3}} + 3 \cdot 3}{3})$

Schritt 18.3.1.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{9 x^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{2}{3}} x - 3 \cdot x^{\frac{2}{3}} + 3 \cdot 3}{3})$

Schritt 18.3.1.4

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{9 x^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{2}{3}} x - 3 \cdot x^{\frac{2}{3}} + 3 \cdot 3}{3})$

Schritt 18.3.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{9 x^{\frac{2 \cdot 3 + 2}{3}} + 2 x^{\frac{2}{3}} x - 3 \cdot x^{\frac{2}{3}} + 3 \cdot 3}{3})$

Schritt 18.3.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 18.3.1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{9 x^{\frac{6 + 2}{3}} + 2 x^{\frac{2}{3}} x - 3 \cdot x^{\frac{2}{3}} + 3 \cdot 3}{3})$

Schritt 18.3.1.6.2

Addiere $6$ und $2$ .

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{9 x^{\frac{8}{3}} + 2 x^{\frac{2}{3}} x - 3 \cdot x^{\frac{2}{3}} + 3 \cdot 3}{3})$

Schritt 18.3.2

Multipliziere $x^{\frac{2}{3}}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 18.3.2.1

Bewege $x$ .

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{9 x^{\frac{8}{3}} + 2 (x \cdot x^{\frac{2}{3}}) - 3 \cdot x^{\frac{2}{3}} + 3 \cdot 3}{3})$

Schritt 18.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 18.3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{9 x^{\frac{8}{3}} + 2 (x \cdot x^{\frac{2}{3}}) - 3 \cdot x^{\frac{2}{3}} + 3 \cdot 3}{3})$

Schritt 18.3.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{9 x^{\frac{8}{3}} + 2 x^{1 + \frac{2}{3}} - 3 \cdot x^{\frac{2}{3}} + 3 \cdot 3}{3})$

Schritt 18.3.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{9 x^{\frac{8}{3}} + 2 x^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} - 3 \cdot x^{\frac{2}{3}} + 3 \cdot 3}{3})$

Schritt 18.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{9 x^{\frac{8}{3}} + 2 x^{\frac{3 + 2}{3}} - 3 \cdot x^{\frac{2}{3}} + 3 \cdot 3}{3})$

Schritt 18.3.2.5

Addiere $3$ und $2$ .

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{9 x^{\frac{8}{3}} + 2 x^{\frac{5}{3}} - 3 \cdot x^{\frac{2}{3}} + 3 \cdot 3}{3})$

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{9 x^{\frac{8}{3}} + 2 x^{\frac{5}{3}} - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 \cdot 3}{3})$

Schritt 18.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{9 x^{\frac{8}{3}} + 2 x^{\frac{5}{3}} - 3 x^{\frac{2}{3}} + 9}{3})$