Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = 10 x^{4} - 3 x^{3} - 63 x^{2} + 152 x - 188$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 188, \pm 2, \pm 94, \pm 4, \pm 47$

$q = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.1, \pm 0.5, \pm 0.2, \pm 188, \pm 18.8, \pm 94, \pm 37.6, \pm 2, \pm 0.4, \pm 9.4, \pm 47, \pm 4, \pm 0.8, \pm 4.7, \pm 23.5$

Schritt 3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$10 \cdot 2^{4} - 3 \cdot 2^{3} - 63 \cdot 2^{2} + 152 \cdot 2 - 188$

Schritt 3.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$10 \cdot 16 - 3 \cdot 2^{3} - 63 \cdot 2^{2} + 152 \cdot 2 - 188$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $10$ mit $16$ .

$160 - 3 \cdot 2^{3} - 63 \cdot 2^{2} + 152 \cdot 2 - 188$

Schritt 3.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$160 - 3 \cdot 8 - 63 \cdot 2^{2} + 152 \cdot 2 - 188$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $8$ .

$160 - 24 - 63 \cdot 2^{2} + 152 \cdot 2 - 188$

Schritt 3.6

Subtrahiere $24$ von $160$ .

$136 - 63 \cdot 2^{2} + 152 \cdot 2 - 188$

Schritt 3.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$136 - 63 \cdot 4 + 152 \cdot 2 - 188$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $- 63$ mit $4$ .

$136 - 252 + 152 \cdot 2 - 188$

Schritt 3.9

Subtrahiere $252$ von $136$ .

$- 116 + 152 \cdot 2 - 188$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $152$ mit $2$ .

$- 116 + 304 - 188$

Schritt 3.11

Addiere $- 116$ und $304$ .

$188 - 188$

Schritt 3.12

Subtrahiere $188$ von $188$ .

$0$

Schritt 4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{10 x^{4} - 3 x^{3} - 63 x^{2} + 152 x - 188}{x - 2}$

Schritt 5

Dividiere $10 x^{4} - 3 x^{3} - 63 x^{2} + 152 x - 188$ durch $x - 2$ .

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Schritt 5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

Schritt 5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $10 x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$10 x^{3}$
	$x$	-	$2$		$10 x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$63 x^{2}$	+	$152 x$	-	$188$

Schritt 5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$10 x^{3}$
$x$	-	$2$		$10 x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$63 x^{2}$	+	$152 x$	-	$188$
			+	$10 x^{4}$	-	$20 x^{3}$

Schritt 5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $10 x^{4} - 20 x^{3}$

				$10 x^{3}$
$x$	-	$2$		$10 x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$63 x^{2}$	+	$152 x$	-	$188$
			-	$10 x^{4}$	+	$20 x^{3}$

Schritt 5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$10 x^{3}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

Schritt 5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$10 x^{3}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

Schritt 5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $17 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

Schritt 5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

Schritt 5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $17 x^{3} - 34 x^{2}$

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

Schritt 5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

Schritt 5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

Schritt 5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 29 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

Schritt 5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

Schritt 5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 29 x^{2} + 58 x$

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

Schritt 5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

$94 x$

Schritt 5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

$94 x$

$188$

Schritt 5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $94 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$94$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

$94 x$

$188$

Schritt 5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$94$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

$94 x$

$188$

$94 x$

$188$

Schritt 5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $94 x - 188$

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$94$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

$94 x$

$188$

$94 x$

$188$

Schritt 5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$94$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

$94 x$

$188$

$94 x$

$188$

$0$

Schritt 5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$10 x^{3} + 17 x^{2} - 29 x + 94$

Schritt 6

Schreibe $10 x^{4} - 3 x^{3} - 63 x^{2} + 152 x - 188$ als eine Menge von Faktoren.

$f (x) = (x - 2) (10 x^{3} + 17 x^{2} - 29 x + 94)$