Finite Mathematik Beispiele

$x^{2} - x y + 3 y^{2} = 5$

Schritt 1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - x y + 3 y^{2} - 5 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - y$ und $c = 3 y^{2} - 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{y \pm \sqrt{{(- y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (3 y^{2} - 5))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende die Produktregel auf $- y$ an.

$x = \frac{y \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (3 y^{2} - 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{1 y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (3 y^{2} - 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (3 y^{2} - 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{y^{2} - 4 \cdot (3 y^{2} - 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{y \pm \sqrt{y^{2} - 4 (3 y^{2}) - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{y^{2} - 12 y^{2} - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{y^{2} - 12 y^{2} + 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.8

Subtrahiere $12 y^{2}$ von $y^{2}$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{- 11 y^{2} + 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{- 11 y^{2} + 20}}{2}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Wende die Produktregel auf $- y$ an.

$x = \frac{y \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (3 y^{2} - 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{1 y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (3 y^{2} - 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (3 y^{2} - 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{y^{2} - 4 \cdot (3 y^{2} - 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{y \pm \sqrt{y^{2} - 4 (3 y^{2}) - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{y^{2} - 12 y^{2} - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{y^{2} - 12 y^{2} + 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.8

Subtrahiere $12 y^{2}$ von $y^{2}$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{- 11 y^{2} + 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{- 11 y^{2} + 20}}{2}$

Schritt 5.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{y + \sqrt{- 11 y^{2} + 20}}{2}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Wende die Produktregel auf $- y$ an.

$x = \frac{y \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (3 y^{2} - 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{1 y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (3 y^{2} - 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (3 y^{2} - 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{y^{2} - 4 \cdot (3 y^{2} - 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{y \pm \sqrt{y^{2} - 4 (3 y^{2}) - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{y^{2} - 12 y^{2} - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{y^{2} - 12 y^{2} + 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.8

Subtrahiere $12 y^{2}$ von $y^{2}$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{- 11 y^{2} + 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{- 11 y^{2} + 20}}{2}$

Schritt 6.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{y - \sqrt{- 11 y^{2} + 20}}{2}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{y + \sqrt{- 11 y^{2} + 20}}{2}$

$x = \frac{y - \sqrt{- 11 y^{2} + 20}}{2}$