Finite Mathematik Beispiele

$x^{2} + {(x + 2)}^{2} = {(x + 4)}^{2} - 65$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere ${(x + 4)}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + {(x + 2)}^{2} - {(x + 4)}^{2} = - 65$

Schritt 1.2

Addiere $65$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + {(x + 2)}^{2} - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

Schritt 2

Vereinfache $x^{2} + {(x + 2)}^{2} - {(x + 4)}^{2} + 65$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$x^{2} + (x + 2) (x + 2) - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + x (x + 2) + 2 (x + 2) - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

Schritt 2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

Schritt 2.1.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

Schritt 2.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} + x^{2} + 2 x + 2 x + 4 - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

Schritt 2.1.3.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

Schritt 2.1.4

Schreibe ${(x + 4)}^{2}$ als $(x + 4) (x + 4)$ um.

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - ((x + 4) (x + 4)) + 65 = 0$

Schritt 2.1.5

Multipliziere $(x + 4) (x + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - (x (x + 4) + 4 (x + 4)) + 65 = 0$

Schritt 2.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) + 65 = 0$

Schritt 2.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) + 65 = 0$

Schritt 2.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.6.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) + 65 = 0$

Schritt 2.1.6.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) + 65 = 0$

Schritt 2.1.6.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4 x + 4 x + 16) + 65 = 0$

Schritt 2.1.6.2

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 8 x + 16) + 65 = 0$

Schritt 2.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - (8 x) - 1 \cdot 16 + 65 = 0$

Schritt 2.1.8

Vereinfache.

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Schritt 2.1.8.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 8 x - 1 \cdot 16 + 65 = 0$

Schritt 2.1.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 8 x - 16 + 65 = 0$

Schritt 2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 8 x - 16 + 65$ .

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + 0 - 8 x - 16 + 65 = 0$

Schritt 2.2.2

Addiere $x^{2} + 4 x + 4$ und $0$ .

$x^{2} + 4 x + 4 - 8 x - 16 + 65 = 0$

Schritt 2.3

Subtrahiere $8 x$ von $4 x$ .

$x^{2} - 4 x + 4 - 16 + 65 = 0$

Schritt 2.4

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x^{2} - 4 x - 12 + 65 = 0$

Schritt 2.5

Addiere $- 12$ und $65$ .

$x^{2} - 4 x + 53 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = 53$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 53)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 53}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 53$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 53}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $53$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 212}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $212$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 196}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $- 196$ als $- 1 (196)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 196}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (196)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $196$ als $14^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{14^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 14}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.9

Bringe $14$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 14 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 14 i}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 14 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 7 i$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 53}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 53$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 53}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $53$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 212}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $212$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 196}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $- 196$ als $- 1 (196)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 196}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (196)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.7

Schreibe $196$ als $14^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{14^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 14}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.9

Bringe $14$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 14 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 14 i}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 14 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 7 i$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 2 + 7 i$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 53}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 53$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 53}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $53$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 212}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $212$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 196}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $- 196$ als $- 1 (196)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 196}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (196)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.7

Schreibe $196$ als $14^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{14^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 14}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.9

Bringe $14$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 14 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 14 i}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 14 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 7 i$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 2 - 7 i$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 2 + 7 i, 2 - 7 i$