Finite Mathematik Beispiele

$x^{\frac{2}{7}} - 43 x^{\frac{1}{7}} = - 42$

Schritt 1

Addiere $42$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{2}{7}} - 43 x^{\frac{1}{7}} + 42 = 0$

Schritt 2

Schreibe $x^{\frac{2}{7}}$ als ${(x^{\frac{1}{7}})}^{2}$ um.

${(x^{\frac{1}{7}})}^{2} - 43 x^{\frac{1}{7}} + 42 = 0$

Schritt 3

Es sei $u = x^{\frac{1}{7}}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{\frac{1}{7}}$ .

$u^{2} - 43 u + 42 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $u^{2} - 43 u + 42$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $42$ und deren Summe $- 43$ ist.

$- 42, - 1$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 42) (u - 1) = 0$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{7}}$ .

$(x^{\frac{1}{7}} - 42) (x^{\frac{1}{7}} - 1) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{7}} - 42 = 0$

$x^{\frac{1}{7}} - 1 = 0$

Schritt 7

Setze $x^{\frac{1}{7}} - 42$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x^{\frac{1}{7}} - 42$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{7}} - 42 = 0$

Schritt 7.2

Löse $x^{\frac{1}{7}} - 42 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Addiere $42$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{1}{7}} = 42$

Schritt 7.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $7$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{7}})}^{7} = 42^{7}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 7.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.3.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 7.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 7.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 42^{7}$

Schritt 7.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 7.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 42^{7}$

Schritt 7.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 42^{7}$

Schritt 7.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = 42^{7}$

Schritt 7.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.2.1

Potenziere $42$ mit $7$ .

$x = 230539333248$

Schritt 8

Setze $x^{\frac{1}{7}} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x^{\frac{1}{7}} - 1$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{7}} - 1 = 0$

Schritt 8.2

Löse $x^{\frac{1}{7}} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{1}{7}} = 1$

Schritt 8.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $7$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{7}})}^{7} = 1^{7}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 8.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.3.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 8.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 8.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 1^{7}$

Schritt 8.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 8.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 1^{7}$

Schritt 8.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 1^{7}$

Schritt 8.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = 1^{7}$

Schritt 8.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = 1$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{\frac{1}{7}} - 42) (x^{\frac{1}{7}} - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 230539333248, 1$