Finite Mathematik Beispiele

$\frac{x}{x + 4} - \frac{1}{x + 1} = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{x + 4} - \frac{1}{x + 1} - 1 = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x}{x + 4} - \frac{1}{x + 1} - 1$ .

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Schritt 2.1

Um $\frac{x}{x + 4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x}{x + 4} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} - 1 = 0$

Schritt 2.2

Um $- \frac{1}{x + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x}{x + 4} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} - 1 = 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 4) (x + 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{x}{x + 4}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x (x + 1)}{(x + 4) (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} - 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 1}$ mit $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x (x + 1)}{(x + 4) (x + 1)} - \frac{x + 4}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(x + 4) (x + 1)$ um.

$\frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x + 4)} - \frac{x + 4}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (x + 1) - (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 - (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + x - (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Schritt 2.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + x - x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Schritt 2.5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{x^{2} + x - x - 4}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Schritt 2.5.6

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 4}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Schritt 2.5.7

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$\frac{x^{2} - 4}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Schritt 2.5.8

Schreibe $x^{2} - 4$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.5.8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Schritt 2.5.8.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Schritt 2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 4)} - 1 \cdot \frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 4)} + \frac{- ((x + 1) (x + 4))}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x + 2) (x - 2) - ((x + 1) (x + 4))}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.1

Multipliziere $(x + 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.9.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x - 2) + 2 (x - 2) - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.9.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.9.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.9.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 2.9.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 2$ und $2 x$ neu an.

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.9.2.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$\frac{x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.9.2.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$\frac{x \cdot x + 2 \cdot - 2 - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.9.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.9.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot - 2 - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.9.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 4 - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.9.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 4 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.9.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 + (- x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.9.6

Multipliziere $(- x - 1) (x + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.9.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 4 - x (x + 4) - 1 (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.9.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 4 - 1 (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.9.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.9.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.9.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.9.7.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.9.7.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - (x \cdot x) - x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.9.7.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.9.7.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 4 x - 1 x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.9.7.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 4 x - x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.9.7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 4 x - x - 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.9.7.2

Subtrahiere $x$ von $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 5 x - 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.9.8

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{0 - 4 - 5 x - 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.9.9

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$\frac{- 4 - 5 x - 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.9.10

Subtrahiere $4$ von $- 4$ .

$\frac{- 5 x - 8}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x$ heraus.

$\frac{- (5 x) - 8}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.11

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$\frac{- (5 x) - 1 (8)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x) - 1 (8)$ heraus.

$\frac{- (5 x + 8)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.13

Schreibe $- (5 x + 8)$ als $- 1 (5 x + 8)$ um.

$\frac{- 1 (5 x + 8)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 x + 8}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$5 x + 8 = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = - 8$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 8$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 8$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 8}{5}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 8}{5}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 8}{5}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{8}{5}$