Finite Mathematik Beispiele

$\sqrt[3]{{(x + 2)}^{2}} = 16$

Schritt 1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt[3]{{(x + 2)}^{2}} - 16 = 0$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{{(x + 2)}^{2}}$ als ${(x + 2)}^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${(x + 2)}^{\frac{2}{3}} - 16 = 0$

Schritt 3

Schreibe ${(x + 2)}^{\frac{2}{3}}$ als ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ um.

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - 16 = 0$

Schritt 4

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - 4^{2} = 0$

Schritt 5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ und $b = 4$ .

$({(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4) ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4 = 0$

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$

Schritt 7

Setze ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4$ gleich $0$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4 = 0$

Schritt 7.2

Löse ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} = - 4$

Schritt 7.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 4)}^{3}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 7.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.3.1.1

Vereinfache ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 7.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 7.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 4)}^{3}$

Schritt 7.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 4)}^{3}$

Schritt 7.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 2)}^{1} = {(- 4)}^{3}$

Schritt 7.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x + 2 = {(- 4)}^{3}$

Schritt 7.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.2.1

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$x + 2 = - 64$

Schritt 7.2.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.4.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 64 - 2$

Schritt 7.2.4.2

Subtrahiere $2$ von $- 64$ .

$x = - 66$

Schritt 8

Setze ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4$ gleich $0$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$

Schritt 8.2

Löse ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} = 4$

Schritt 8.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 4^{3}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 8.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.3.1.1

Vereinfache ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 8.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 8.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 4^{3}$

Schritt 8.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 4^{3}$

Schritt 8.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 2)}^{1} = 4^{3}$

Schritt 8.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x + 2 = 4^{3}$

Schritt 8.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.2.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$x + 2 = 64$

Schritt 8.2.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.2.4.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 64 - 2$

Schritt 8.2.4.2

Subtrahiere $2$ von $64$ .

$x = 62$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $({(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4) ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4) = 0$ wahr machen.

$x = - 66, 62$