Finite Mathematik Beispiele

\sqrt[3]{{(x + 2)}^{2}} = 16

$\sqrt[3]{{(x + 2)}^{2}} = 16$

Schritt 1

Subtrahiere

16

$16$ von beiden Seiten der Gleichung.

\sqrt[3]{{(x + 2)}^{2}} - 16 = 0

$\sqrt[3]{{(x + 2)}^{2}} - 16 = 0$

Schritt 2

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt[3]{{(x + 2)}^{2}}

$\sqrt[3]{{(x + 2)}^{2}}$ als

{(x + 2)}^{\frac{2}{3}}

${(x + 2)}^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

{(x + 2)}^{\frac{2}{3}} - 16 = 0

${(x + 2)}^{\frac{2}{3}} - 16 = 0$

Schritt 3

Schreibe

{(x + 2)}^{\frac{2}{3}}

${(x + 2)}^{\frac{2}{3}}$ als

{({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2}

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ um.

{({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - 16 = 0

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - 16 = 0$

Schritt 4

Schreibe

16

$16$ als

4^{2}

$4^{2}$ um.

{({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - 4^{2} = 0

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - 4^{2} = 0$

Schritt 5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit

a = {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}

$a = {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ und

b = 4

$b = 4$ .

({(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4) ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4) = 0

$({(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4) ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

{(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4 = 0

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4 = 0$

{(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4 = 0

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$

Schritt 7

Setze

{(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Setze

{(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4$ gleich

0

$0$ .

{(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4 = 0

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4 = 0$

Schritt 7.2

Löse

{(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4 = 0

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4 = 0$ nach

x

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Subtrahiere

4

$4$ von beiden Seiten der Gleichung.

{(x + 2)}^{\frac{1}{3}} = - 4

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} = - 4$

Schritt 7.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit

3

$3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

{({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 4)}^{3}

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 4)}^{3}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1.1

Vereinfache

{({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in

{({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

{(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 4)}^{3}

${(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 4)}^{3}$

Schritt 7.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

3

$3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 4)}^{3}$

Schritt 7.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 2)}^{1} = {(- 4)}^{3}$

Schritt 7.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x + 2 = {(- 4)}^{3}$

Schritt 7.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.2.1

Potenziere

$- 4$ mit

$3$ .

$x + 2 = - 64$

Schritt 7.2.4

Bringe alle Terme, die nicht

$x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.4.1

Subtrahiere

$2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 64 - 2$

Schritt 7.2.4.2

Subtrahiere

$2$ von

$- 64$ .

$x = - 66$

Schritt 8

Setze

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4$ gleich

$0$ und löse nach

$x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4$ gleich

$0$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$

Schritt 8.2

Löse

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$ nach

$x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Addiere

$4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} = 4$

Schritt 8.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit

$3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 4^{3}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.1.1

Vereinfache

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 4^{3}$

Schritt 8.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 4^{3}$

Schritt 8.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 2)}^{1} = 4^{3}$

Schritt 8.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x + 2 = 4^{3}$

Schritt 8.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.2.1

Potenziere

$4$ mit

$3$ .

$x + 2 = 64$

Schritt 8.2.4

Bringe alle Terme, die nicht

$x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.4.1

Subtrahiere

$2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 64 - 2$

Schritt 8.2.4.2

Subtrahiere

$2$ von

$64$ .

$x = 62$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$({(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4) ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4) = 0$ wahr machen.

$x = - 66, 62$