Finite Mathematik Beispiele

$\sqrt{3 y + 9} - \sqrt{y + 16} = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{3 y + 9} - \sqrt{y + 16} - 1 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $3$ aus $3 y + 9$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y$ heraus.

$\sqrt{3 (y) + 9} - \sqrt{y + 16} - 1 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\sqrt{3 y + 3 \cdot 3} - \sqrt{y + 16} - 1 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 y + 3 \cdot 3$ heraus.

$\sqrt{3 (y + 3)} - \sqrt{y + 16} - 1 = 0$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $\sqrt{3 (y + 3)}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Addiere $\sqrt{y + 16}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{3 (y + 3)} - 1 = \sqrt{y + 16}$

Schritt 3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{3 (y + 3)} = \sqrt{y + 16} + 1$

Schritt 4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{3 (y + 3)}}^{2} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 (y + 3)}$ als ${(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${({(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 (y + 3))}^{1} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(3 y + 3 \cdot 3)}^{1} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Multipliziere.

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Schritt 5.2.1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

${(3 y + 9)}^{1} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2

Vereinfache.

$3 y + 9 = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache ${(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Schreibe ${(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$ als $(\sqrt{y + 16} + 1) (\sqrt{y + 16} + 1)$ um.

$3 y + 9 = (\sqrt{y + 16} + 1) (\sqrt{y + 16} + 1)$

Schritt 5.3.1.2

Multipliziere $(\sqrt{y + 16} + 1) (\sqrt{y + 16} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y + 9 = \sqrt{y + 16} (\sqrt{y + 16} + 1) + 1 (\sqrt{y + 16} + 1)$

Schritt 5.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y + 9 = \sqrt{y + 16} \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 (\sqrt{y + 16} + 1)$

Schritt 5.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y + 9 = \sqrt{y + 16} \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Schritt 5.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.3.1.1

Multipliziere $\sqrt{y + 16} \sqrt{y + 16}$ .

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Schritt 5.3.1.3.1.1.1

Potenziere $\sqrt{y + 16}$ mit $1$ .

$3 y + 9 = {\sqrt{y + 16}}^{1} \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Schritt 5.3.1.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{y + 16}$ mit $1$ .

$3 y + 9 = {\sqrt{y + 16}}^{1} {\sqrt{y + 16}}^{1} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Schritt 5.3.1.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 y + 9 = {\sqrt{y + 16}}^{1 + 1} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Schritt 5.3.1.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$3 y + 9 = {\sqrt{y + 16}}^{2} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Schritt 5.3.1.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{y + 16}}^{2}$ als $y + 16$ um.

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Schritt 5.3.1.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y + 16}$ als ${(y + 16)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 y + 9 = {({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Schritt 5.3.1.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 y + 9 = {(y + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Schritt 5.3.1.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$3 y + 9 = {(y + 16)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Schritt 5.3.1.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.1.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 y + 9 = {(y + 16)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Schritt 5.3.1.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$3 y + 9 = {(y + 16)}^{1} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Schritt 5.3.1.3.1.2.5

Vereinfache.

$3 y + 9 = y + 16 + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Schritt 5.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $\sqrt{y + 16}$ mit $1$ .

$3 y + 9 = y + 16 + \sqrt{y + 16} + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Schritt 5.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $\sqrt{y + 16}$ mit $1$ .

$3 y + 9 = y + 16 + \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Schritt 5.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$3 y + 9 = y + 16 + \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} + 1$

Schritt 5.3.1.3.2

Addiere $16$ und $1$ .

$3 y + 9 = y + 17 + \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16}$

Schritt 5.3.1.3.3

Addiere $\sqrt{y + 16}$ und $\sqrt{y + 16}$ .

$3 y + 9 = y + 17 + 2 \sqrt{y + 16}$

Schritt 6

Löse nach $2 \sqrt{y + 16}$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $y + 17 + 2 \sqrt{y + 16} = 3 y + 9$ um.

$y + 17 + 2 \sqrt{y + 16} = 3 y + 9$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die nicht $2 \sqrt{y + 16}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$17 + 2 \sqrt{y + 16} = 3 y + 9 - y$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $17$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{y + 16} = 3 y + 9 - y - 17$

Schritt 6.2.3

Subtrahiere $y$ von $3 y$ .

$2 \sqrt{y + 16} = 2 y + 9 - 17$

Schritt 6.2.4

Subtrahiere $17$ von $9$ .

$2 \sqrt{y + 16} = 2 y - 8$

Schritt 7

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{y + 16})}^{2} = {(2 y - 8)}^{2}$

Schritt 8

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y + 16}$ als ${(y + 16)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 y - 8)}^{2}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache ${(2 {(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(y + 16)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 y - 8)}^{2}$

Schritt 8.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 y - 8)}^{2}$

Schritt 8.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 8.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(y + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 y - 8)}^{2}$

Schritt 8.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(y + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 y - 8)}^{2}$

Schritt 8.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(y + 16)}^{1} = {(2 y - 8)}^{2}$

Schritt 8.2.1.4

Vereinfache.

$4 (y + 16) = {(2 y - 8)}^{2}$

Schritt 8.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y + 4 \cdot 16 = {(2 y - 8)}^{2}$

Schritt 8.2.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$4 y + 64 = {(2 y - 8)}^{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache ${(2 y - 8)}^{2}$ .

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Schritt 8.3.1.1

Schreibe ${(2 y - 8)}^{2}$ als $(2 y - 8) (2 y - 8)$ um.

$4 y + 64 = (2 y - 8) (2 y - 8)$

Schritt 8.3.1.2

Multipliziere $(2 y - 8) (2 y - 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 8.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y + 64 = 2 y (2 y - 8) - 8 (2 y - 8)$

Schritt 8.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y + 64 = 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y - 8)$

Schritt 8.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y + 64 = 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

Schritt 8.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 y + 64 = 2 \cdot 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

Schritt 8.3.1.3.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.3.1.3.1.2.1

Bewege $y$ .

$4 y + 64 = 2 \cdot 2 (y \cdot y) + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

Schritt 8.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$4 y + 64 = 2 \cdot 2 y^{2} + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

Schritt 8.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 y + 64 = 4 y^{2} + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

Schritt 8.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$4 y + 64 = 4 y^{2} - 16 y - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

Schritt 8.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$4 y + 64 = 4 y^{2} - 16 y - 16 y - 8 \cdot - 8$

Schritt 8.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 8$ .

$4 y + 64 = 4 y^{2} - 16 y - 16 y + 64$

Schritt 8.3.1.3.2

Subtrahiere $16 y$ von $- 16 y$ .

$4 y + 64 = 4 y^{2} - 32 y + 64$

Schritt 9

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 9.1

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$4 y^{2} - 32 y + 64 = 4 y + 64$

Schritt 9.2

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.2.1

Subtrahiere $4 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y^{2} - 32 y + 64 - 4 y = 64$

Schritt 9.2.2

Subtrahiere $4 y$ von $- 32 y$ .

$4 y^{2} - 36 y + 64 = 64$

Schritt 9.3

Subtrahiere $64$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y^{2} - 36 y + 64 - 64 = 0$

Schritt 9.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 y^{2} - 36 y + 64 - 64$ .

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Schritt 9.4.1

Subtrahiere $64$ von $64$ .

$4 y^{2} - 36 y + 0 = 0$

Schritt 9.4.2

Addiere $4 y^{2} - 36 y$ und $0$ .

$4 y^{2} - 36 y = 0$

Schritt 9.5

Faktorisiere $4 y$ aus $4 y^{2} - 36 y$ heraus.

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Schritt 9.5.1

Faktorisiere $4 y$ aus $4 y^{2}$ heraus.

$4 y (y) - 36 y = 0$

Schritt 9.5.2

Faktorisiere $4 y$ aus $- 36 y$ heraus.

$4 y (y) + 4 y (- 9) = 0$

Schritt 9.5.3

Faktorisiere $4 y$ aus $4 y (y) + 4 y (- 9)$ heraus.

$4 y (y - 9) = 0$

Schritt 9.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y = 0$

$y - 9 = 0$

Schritt 9.7

Setze $y$ gleich $0$ .

$y = 0$

Schritt 9.8

Setze $y - 9$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 9.8.1

Setze $y - 9$ gleich $0$ .

$y - 9 = 0$

Schritt 9.8.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 9$

Schritt 9.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 y (y - 9) = 0$ wahr machen.

$y = 0, 9$

Schritt 10

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{3 (y + 3)} - \sqrt{y + 16} - 1 = 0$ nicht erfüllen.

$y = 9$