Finite Mathematik Beispiele

$\sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 12 \sqrt{x} = 15 \sqrt{x}$

Schritt 1

Subtrahiere $15 \sqrt{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1.1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\sqrt{x^{2} - 10 x + 5^{2}} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

Schritt 2.1.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 2.1.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$\sqrt{{(x - 5)}^{2}} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

Schritt 2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x - 5 + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $15 \sqrt{x}$ von $12 \sqrt{x}$ .

$x - 5 - 3 \sqrt{x} = 0$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $- 3 \sqrt{x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 - 3 \sqrt{x} = - x$

Schritt 3.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 \sqrt{x} = - x + 5$

Schritt 4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 3 \sqrt{x})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${(- 3 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 3)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 5)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 5)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$9 x^{1} = {(- x + 5)}^{2}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinfache.

$9 x = {(- x + 5)}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache ${(- x + 5)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Schreibe ${(- x + 5)}^{2}$ als $(- x + 5) (- x + 5)$ um.

$9 x = (- x + 5) (- x + 5)$

Schritt 5.3.1.2

Multipliziere $(- x + 5) (- x + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x = - x (- x + 5) + 5 (- x + 5)$

Schritt 5.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x = - x (- x) - x \cdot 5 + 5 (- x + 5)$

Schritt 5.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x = - x (- x) - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Schritt 5.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$9 x = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Schritt 5.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$9 x = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Schritt 5.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$9 x = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Schritt 5.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$9 x = 1 x^{2} - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Schritt 5.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$9 x = x^{2} - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Schritt 5.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$9 x = x^{2} - 5 x + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Schritt 5.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$9 x = x^{2} - 5 x - 5 x + 5 \cdot 5$

Schritt 5.3.1.3.1.7

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$9 x = x^{2} - 5 x - 5 x + 25$

Schritt 5.3.1.3.2

Subtrahiere $5 x$ von $- 5 x$ .

$9 x = x^{2} - 10 x + 25$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} - 10 x + 25 = 9 x$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $9 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 10 x + 25 - 9 x = 0$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $9 x$ von $- 10 x$ .

$x^{2} - 19 x + 25 = 0$

Schritt 6.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 19$ und $c = 25$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5

Vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.1.1

Potenziere $- 19$ mit $2$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Schritt 6.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.3

Subtrahiere $100$ von $361$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.4

Schreibe $261$ als $3^{2} \cdot 29$ um.

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Schritt 6.5.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $261$ heraus.

$x = \frac{19 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{19 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2}$

Schritt 6.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.6.1.1

Potenziere $- 19$ mit $2$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Schritt 6.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.3

Subtrahiere $100$ von $361$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.4

Schreibe $261$ als $3^{2} \cdot 29$ um.

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Schritt 6.6.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $261$ heraus.

$x = \frac{19 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{19 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2}$

Schritt 6.6.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}$

Schritt 6.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.7.1.1

Potenziere $- 19$ mit $2$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Schritt 6.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.3

Subtrahiere $100$ von $361$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.4

Schreibe $261$ als $3^{2} \cdot 29$ um.

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Schritt 6.7.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $261$ heraus.

$x = \frac{19 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{19 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2}$

Schritt 6.7.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{19 - 3 \sqrt{29}}{2}$

Schritt 6.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}, \frac{19 - 3 \sqrt{29}}{2}$

Schritt 7

Schließe die Lösungen aus, die $x - 5 - 3 \sqrt{x} = 0$ nicht erfüllen.

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}$

Dezimalform:

$x = 17.57774721 \dots$