Finite Mathematik Beispiele

$r^{2} = {(4 - h)}^{2} + {(2 - k)}^{2}$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere ${(4 - h)}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} - {(4 - h)}^{2} = {(2 - k)}^{2}$

Schritt 1.2

Subtrahiere ${(2 - k)}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} - {(4 - h)}^{2} - {(2 - k)}^{2} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $r^{2} - {(4 - h)}^{2} - {(2 - k)}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${(4 - h)}^{2}$ als $(4 - h) (4 - h)$ um.

$r^{2} - ((4 - h) (4 - h)) - {(2 - k)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $(4 - h) (4 - h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r^{2} - (4 (4 - h) - h (4 - h)) - {(2 - k)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$r^{2} - (4 \cdot 4 + 4 (- h) - h (4 - h)) - {(2 - k)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$r^{2} - (4 \cdot 4 + 4 (- h) - h \cdot 4 - h (- h)) - {(2 - k)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$r^{2} - (16 + 4 (- h) - h \cdot 4 - h (- h)) - {(2 - k)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$r^{2} - (16 - 4 h - h \cdot 4 - h (- h)) - {(2 - k)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$r^{2} - (16 - 4 h - 4 h - h (- h)) - {(2 - k)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$r^{2} - (16 - 4 h - 4 h - 1 \cdot - 1 h \cdot h) - {(2 - k)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.3.1.5

Multipliziere $h$ mit $h$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.1.5.1

Bewege $h$ .

$r^{2} - (16 - 4 h - 4 h - 1 \cdot - 1 (h \cdot h)) - {(2 - k)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$r^{2} - (16 - 4 h - 4 h - 1 \cdot - 1 h^{2}) - {(2 - k)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$r^{2} - (16 - 4 h - 4 h + 1 h^{2}) - {(2 - k)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.3.1.7

Mutltipliziere $h^{2}$ mit $1$ .

$r^{2} - (16 - 4 h - 4 h + h^{2}) - {(2 - k)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.3.2

Subtrahiere $4 h$ von $- 4 h$ .

$r^{2} - (16 - 8 h + h^{2}) - {(2 - k)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$r^{2} - 1 \cdot 16 - (- 8 h) - h^{2} - {(2 - k)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$r^{2} - 16 - (- 8 h) - h^{2} - {(2 - k)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.5.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - {(2 - k)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.6

Schreibe ${(2 - k)}^{2}$ als $(2 - k) (2 - k)$ um.

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - ((2 - k) (2 - k)) = 0$

Schritt 2.1.7

Multipliziere $(2 - k) (2 - k)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - (2 (2 - k) - k (2 - k)) = 0$

Schritt 2.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - (2 \cdot 2 + 2 (- k) - k (2 - k)) = 0$

Schritt 2.1.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - (2 \cdot 2 + 2 (- k) - k \cdot 2 - k (- k)) = 0$

Schritt 2.1.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.8.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - (4 + 2 (- k) - k \cdot 2 - k (- k)) = 0$

Schritt 2.1.8.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - (4 - 2 k - k \cdot 2 - k (- k)) = 0$

Schritt 2.1.8.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - (4 - 2 k - 2 k - k (- k)) = 0$

Schritt 2.1.8.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - (4 - 2 k - 2 k - 1 \cdot - 1 k \cdot k) = 0$

Schritt 2.1.8.1.5

Multipliziere $k$ mit $k$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.8.1.5.1

Bewege $k$ .

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - (4 - 2 k - 2 k - 1 \cdot - 1 (k \cdot k)) = 0$

Schritt 2.1.8.1.5.2

Mutltipliziere $k$ mit $k$ .

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - (4 - 2 k - 2 k - 1 \cdot - 1 k^{2}) = 0$

Schritt 2.1.8.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - (4 - 2 k - 2 k + 1 k^{2}) = 0$

Schritt 2.1.8.1.7

Mutltipliziere $k^{2}$ mit $1$ .

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - (4 - 2 k - 2 k + k^{2}) = 0$

Schritt 2.1.8.2

Subtrahiere $2 k$ von $- 2 k$ .

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - (4 - 4 k + k^{2}) = 0$

Schritt 2.1.9

Wende das Distributivgesetz an.

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - 1 \cdot 4 - (- 4 k) - k^{2} = 0$

Schritt 2.1.10

Vereinfache.

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Schritt 2.1.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - 4 - (- 4 k) - k^{2} = 0$

Schritt 2.1.10.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - 4 + 4 k - k^{2} = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $4$ von $- 16$ .

$r^{2} + 8 h - h^{2} - 20 + 4 k - k^{2} = 0$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $r$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $8 h$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} - h^{2} - 20 + 4 k - k^{2} = - 8 h$

Schritt 3.2

Addiere $h^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} - 20 + 4 k - k^{2} = - 8 h + h^{2}$

Schritt 3.3

Addiere $20$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} + 4 k - k^{2} = - 8 h + h^{2} + 20$

Schritt 3.4

Subtrahiere $4 k$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} - k^{2} = - 8 h + h^{2} + 20 - 4 k$

Schritt 3.5

Addiere $k^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} = - 8 h + h^{2} + 20 - 4 k + k^{2}$

Schritt 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt{- 8 h + h^{2} + 20 - 4 k + k^{2}}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$r = \sqrt{- 8 h + h^{2} + 20 - 4 k + k^{2}}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$r = - \sqrt{- 8 h + h^{2} + 20 - 4 k + k^{2}}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$r = \sqrt{- 8 h + h^{2} + 20 - 4 k + k^{2}}$

$r = - \sqrt{- 8 h + h^{2} + 20 - 4 k + k^{2}}$

$r = \sqrt{- 8 h + h^{2} + 20 - 4 k + k^{2}}$

$r = - \sqrt{- 8 h + h^{2} + 20 - 4 k + k^{2}}$