Finite Mathematik Beispiele

$\log_{7} (x) + \log_{7} (x - 2) = \log_{7} (24)$

Schritt 1

Subtrahiere $\log_{7} (24)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\log_{7} (x) + \log_{7} (x - 2) - \log_{7} (24) = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\log_{7} (x) + \log_{7} (x - 2) - \log_{7} (24)$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{7} (x (x - 2)) - \log_{7} (24) = 0$

Schritt 2.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{7} (\frac{x (x - 2)}{24}) = 0$

Schritt 3

Schreibe $\log_{7} (\frac{x (x - 2)}{24}) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$7^{0} = \frac{x (x - 2)}{24}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{x (x - 2)}{24} = 7^{0}$ um.

$\frac{x (x - 2)}{24} = 7^{0}$

Schritt 4.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $24$ .

$24 \frac{x (x - 2)}{24} = 24 \cdot 7^{0}$

Schritt 4.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.1.1

Vereinfache $24 \frac{x (x - 2)}{24}$ .

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Schritt 4.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $24$ .

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Schritt 4.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$24 \frac{x (x - 2)}{24} = 24 \cdot 7^{0}$

Schritt 4.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x (x - 2) = 24 \cdot 7^{0}$

Schritt 4.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 2 = 24 \cdot 7^{0}$

Schritt 4.3.1.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1.1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 = 24 \cdot 7^{0}$

Schritt 4.3.1.1.3.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 2 x = 24 \cdot 7^{0}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache $24 \cdot 7^{0}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{2} - 2 x = 24 \cdot 1$

Schritt 4.3.2.1.2

Mutltipliziere $24$ mit $1$ .

$x^{2} - 2 x = 24$

Schritt 4.4

Subtrahiere $24$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x - 24 = 0$

Schritt 4.5

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 24$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 6, 4$

Schritt 4.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 6) (x + 4) = 0$

Schritt 4.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 4.7

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.7.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 4.7.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 4.8

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.8.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 4.8.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 4.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 6) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 6, - 4$