Finite Mathematik Beispiele

$\log_{2} (x) - \log_{2} (x - 2) = 3$

Schritt 1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\log_{2} (x) - \log_{2} (x - 2) - 3 = 0$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x}{x - 2}) - 3 = 0$

Schritt 3

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\log_{2} (\frac{x}{x - 2}) = 3$

Schritt 4

Schreibe $\log_{2} (\frac{x}{x - 2}) = 3$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$2^{3} = \frac{x}{x - 2}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{x}{x - 2} = 2^{3}$ um.

$\frac{x}{x - 2} = 2^{3}$

Schritt 5.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{x}{x - 2} = 8$

Schritt 5.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x - 2, 1$

Schritt 5.3.2

Entferne die Klammern.

$x - 2, 1$

Schritt 5.3.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x - 2$

Schritt 5.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{x}{x - 2} = 8$ mit $x - 2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x}{x - 2} = 8$ mit $x - 2$ .

$\frac{x}{x - 2} (x - 2) = 8 (x - 2)$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{x - 2} (x - 2) = 8 (x - 2)$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 8 (x - 2)$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 8 x + 8 \cdot - 2$

Schritt 5.4.3.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 2$ .

$x = 8 x - 16$

Schritt 5.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.5.1.1

Subtrahiere $8 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - 8 x = - 16$

Schritt 5.5.1.2

Subtrahiere $8 x$ von $x$ .

$- 7 x = - 16$

Schritt 5.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 7 x = - 16$ durch $- 7$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 7 x = - 16$ durch $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 16}{- 7}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 7$ .

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Schritt 5.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 16}{- 7}$

Schritt 5.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 16}{- 7}$

Schritt 5.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{16}{7}$