Finite Mathematik Beispiele

$7^{2 x} + 7^{x} - 30 = 0$

Schritt 1

Schreibe $7^{2 x}$ als ${(7^{x})}^{2}$ um.

${(7^{x})}^{2} + 7^{x} - 30 = 0$

Schritt 2

Es sei $u = 7^{x}$ . Ersetze $u$ für alle $7^{x}$ .

$u^{2} + u - 30 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $u^{2} + u - 30$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 30$ und deren Summe $1$ ist.

$- 5, 6$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 5) (u + 6) = 0$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $7^{x}$ .

$(7^{x} - 5) (7^{x} + 6) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$7^{x} - 5 = 0$

$7^{x} + 6 = 0$

Schritt 6

Setze $7^{x} - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $7^{x} - 5$ gleich $0$ .

$7^{x} - 5 = 0$

Schritt 6.2

Löse $7^{x} - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$7^{x} = 5$

Schritt 6.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (7^{x}) = \ln (5)$

Schritt 6.2.3

Zerlege $\ln (7^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (7) = \ln (5)$

Schritt 6.2.4

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (7) = \ln (5)$ durch $\ln (7)$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (7) = \ln (5)$ durch $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (5)}{\ln (7)}$

Schritt 6.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (7)$ .

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Schritt 6.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (5)}{\ln (7)}$

Schritt 6.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (7)}$

Schritt 7

Setze $7^{x} + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $7^{x} + 6$ gleich $0$ .

$7^{x} + 6 = 0$

Schritt 7.2

Löse $7^{x} + 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7^{x} = - 6$

Schritt 7.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (7^{x}) = \ln (- 6)$

Schritt 7.2.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- 6)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 7.2.4

Es gibt keine Lösung für $7^{x} = - 6$

Keine Lösung

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(7^{x} - 5) (7^{x} + 6) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (7)}$