Finite Mathematik Beispiele

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} = \frac{6}{2^{2} - 36}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{6}{2^{2} - 36}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{6}{2^{2} - 36} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{6}{2^{2} - 36}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{6}{4 - 36} = 0$

Schritt 2.1.1.2

Subtrahiere $36$ von $4$ .

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{6}{- 32} = 0$

Schritt 2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $- 32$ .

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{2 (3)}{- 32} = 0$

Schritt 2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 32$ heraus.

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 16} = 0$

Schritt 2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 16} = 0$

Schritt 2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{3}{- 16} = 0$

Schritt 2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - - \frac{3}{16} = 0$

Schritt 2.1.4

Multipliziere $- - \frac{3}{16}$ .

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Schritt 2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} + 1 (\frac{3}{16}) = 0$

Schritt 2.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{3}{16}$ mit $1$ .

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} + \frac{3}{16} = 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{6}{x - 6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{6}{x - 6} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{7}{x + 6} + \frac{3}{16} = 0$

Schritt 2.3

Um $- \frac{7}{x + 6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{6}{x - 6} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{7}{x + 6} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} + \frac{3}{16} = 0$

Schritt 2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 6) (x + 6)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{6}{x - 6}$ mit $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{6 (x + 6)}{(x - 6) (x + 6)} - \frac{7}{x + 6} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} + \frac{3}{16} = 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{7}{x + 6}$ mit $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{6 (x + 6)}{(x - 6) (x + 6)} - \frac{7 (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{3}{16} = 0$

Schritt 2.4.3

Stelle die Faktoren von $(x - 6) (x + 6)$ um.

$\frac{6 (x + 6)}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{7 (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{3}{16} = 0$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 (x + 6) - 7 (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{3}{16} = 0$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 x + 6 \cdot 6 - 7 (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{3}{16} = 0$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{6 x + 36 - 7 (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{3}{16} = 0$

Schritt 2.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 x + 36 - 7 x - 7 \cdot - 6}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{3}{16} = 0$

Schritt 2.6.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 6$ .

$\frac{6 x + 36 - 7 x + 42}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{3}{16} = 0$

Schritt 2.6.5

Subtrahiere $7 x$ von $6 x$ .

$\frac{- x + 36 + 42}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{3}{16} = 0$

Schritt 2.6.6

Addiere $36$ und $42$ .

$\frac{- x + 78}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{3}{16} = 0$

Schritt 2.7

Um $\frac{- x + 78}{(x + 6) (x - 6)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$\frac{- x + 78}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{16}{16} + \frac{3}{16} = 0$

Schritt 2.8

Um $\frac{3}{16}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)}$ .

$\frac{- x + 78}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{16}{16} + \frac{3}{16} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 6) (x - 6) \cdot 16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $\frac{- x + 78}{(x + 6) (x - 6)}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$\frac{(- x + 78) \cdot 16}{(x + 6) (x - 6) \cdot 16} + \frac{3}{16} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $\frac{3}{16}$ mit $\frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)}$ .

$\frac{(- x + 78) \cdot 16}{(x + 6) (x - 6) \cdot 16} + \frac{3 ((x + 6) (x - 6))}{16 ((x + 6) (x - 6))} = 0$

Schritt 2.9.3

Stelle die Faktoren von $(x + 6) (x - 6) \cdot 16$ um.

$\frac{(- x + 78) \cdot 16}{16 (x + 6) (x - 6)} + \frac{3 ((x + 6) (x - 6))}{16 ((x + 6) (x - 6))} = 0$

Schritt 2.9.4

Stelle die Faktoren von $16 ((x + 6) (x - 6))$ um.

$\frac{(- x + 78) \cdot 16}{16 (x + 6) (x - 6)} + \frac{3 ((x + 6) (x - 6))}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(- x + 78) \cdot 16 + 3 ((x + 6) (x - 6))}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x \cdot 16 + 78 \cdot 16 + 3 (x + 6) (x - 6)}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$\frac{- 16 x + 78 \cdot 16 + 3 (x + 6) (x - 6)}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.11.3

Mutltipliziere $78$ mit $16$ .

$\frac{- 16 x + 1248 + 3 (x + 6) (x - 6)}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.11.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 16 x + 1248 + (3 x + 3 \cdot 6) (x - 6)}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.11.5

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{- 16 x + 1248 + (3 x + 18) (x - 6)}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.11.6

Multipliziere $(3 x + 18) (x - 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.11.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 16 x + 1248 + 3 x (x - 6) + 18 (x - 6)}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.11.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 16 x + 1248 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 6 + 18 (x - 6)}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.11.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 16 x + 1248 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 6 + 18 x + 18 \cdot - 6}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.11.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.11.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.7.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.11.7.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 16 x + 1248 + 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 6 + 18 x + 18 \cdot - 6}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.11.7.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{- 16 x + 1248 + 3 x^{2} + 3 x \cdot - 6 + 18 x + 18 \cdot - 6}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.11.7.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$\frac{- 16 x + 1248 + 3 x^{2} - 18 x + 18 x + 18 \cdot - 6}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.11.7.1.3

Mutltipliziere $18$ mit $- 6$ .

$\frac{- 16 x + 1248 + 3 x^{2} - 18 x + 18 x - 108}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.11.7.2

Addiere $- 18 x$ und $18 x$ .

$\frac{- 16 x + 1248 + 3 x^{2} + 0 - 108}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.11.7.3

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{- 16 x + 1248 + 3 x^{2} - 108}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.11.8

Subtrahiere $108$ von $1248$ .

$\frac{- 16 x + 3 x^{2} + 1140}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.11.9

Stelle die Terme um.

$\frac{3 x^{2} - 16 x + 1140}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$3 x^{2} - 16 x + 1140 = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 16$ und $c = 1140$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1140)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot 1140}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 1140$ .

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Schritt 4.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot 1140}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $1140$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 13680}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.1.3

Subtrahiere $13680$ von $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{- 13424}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.1.4

Schreibe $- 13424$ als $- 1 (13424)$ um.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 13424}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (13424)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{13424}$ um.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{13424}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{13424}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.1.7

Schreibe $13424$ als $4^{2} \cdot 839$ um.

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Schritt 4.3.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $13424$ heraus.

$x = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{16 (839)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 839}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{16 \pm i \cdot (4 \sqrt{839})}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{16 \pm 4 i \sqrt{839}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{16 \pm 4 i \sqrt{839}}{6}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 4 i \sqrt{839}}{6}$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{839}}{3}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot 1140}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 1140$ .

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Schritt 4.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot 1140}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $1140$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 13680}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.4.1.3

Subtrahiere $13680$ von $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{- 13424}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.4.1.4

Schreibe $- 13424$ als $- 1 (13424)$ um.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 13424}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (13424)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{13424}$ um.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{13424}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{13424}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.4.1.7

Schreibe $13424$ als $4^{2} \cdot 839$ um.

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Schritt 4.4.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $13424$ heraus.

$x = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{16 (839)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.4.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 839}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{16 \pm i \cdot (4 \sqrt{839})}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.4.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{16 \pm 4 i \sqrt{839}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{16 \pm 4 i \sqrt{839}}{6}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 4 i \sqrt{839}}{6}$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{839}}{3}$

Schritt 4.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{8 + 2 i \sqrt{839}}{3}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot 1140}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 1140$ .

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Schritt 4.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot 1140}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $1140$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 13680}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.5.1.3

Subtrahiere $13680$ von $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{- 13424}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.5.1.4

Schreibe $- 13424$ als $- 1 (13424)$ um.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 13424}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (13424)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{13424}$ um.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{13424}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{13424}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.5.1.7

Schreibe $13424$ als $4^{2} \cdot 839$ um.

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Schritt 4.5.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $13424$ heraus.

$x = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{16 (839)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.5.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 839}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{16 \pm i \cdot (4 \sqrt{839})}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.5.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{16 \pm 4 i \sqrt{839}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{16 \pm 4 i \sqrt{839}}{6}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 4 i \sqrt{839}}{6}$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{839}}{3}$

Schritt 4.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{8 - 2 i \sqrt{839}}{3}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{8 + 2 i \sqrt{839}}{3}, \frac{8 - 2 i \sqrt{839}}{3}$