Finite Mathematik Beispiele

$\frac{3 x - 17}{x - 4} = \frac{7 x - 7}{28}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{7 x - 7}{28}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3 x - 17}{x - 4} - \frac{7 x - 7}{28} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{3 x - 17}{x - 4} - \frac{7 x - 7}{28}$ .

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $7 x - 7$ und $28$ .

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x$ heraus.

$\frac{3 x - 17}{x - 4} - \frac{7 (x) - 7}{28} = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $7$ aus $- 7$ heraus.

$\frac{3 x - 17}{x - 4} - \frac{7 (x) + 7 (- 1)}{28} = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $7$ aus $7 (x) + 7 (- 1)$ heraus.

$\frac{3 x - 17}{x - 4} - \frac{7 (x - 1)}{28} = 0$

Schritt 2.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.4.1

Faktorisiere $7$ aus $28$ heraus.

$\frac{3 x - 17}{x - 4} - \frac{7 (x - 1)}{7 (4)} = 0$

Schritt 2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x - 17}{x - 4} - \frac{7 (x - 1)}{7 \cdot 4} = 0$

Schritt 2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x - 17}{x - 4} - \frac{x - 1}{4} = 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{3 x - 17}{x - 4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 x - 17}{x - 4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x - 1}{4} = 0$

Schritt 2.3

Um $- \frac{x - 1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{3 x - 17}{x - 4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x - 1}{4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} = 0$

Schritt 2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 4) \cdot 4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{3 x - 17}{x - 4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{(3 x - 17) \cdot 4}{(x - 4) \cdot 4} - \frac{x - 1}{4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} = 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{x - 1}{4}$ mit $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{(3 x - 17) \cdot 4}{(x - 4) \cdot 4} - \frac{(x - 1) (x - 4)}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 2.4.3

Stelle die Faktoren von $(x - 4) \cdot 4$ um.

$\frac{(3 x - 17) \cdot 4}{4 (x - 4)} - \frac{(x - 1) (x - 4)}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(3 x - 17) \cdot 4 - (x - 1) (x - 4)}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x \cdot 4 - 17 \cdot 4 - (x - 1) (x - 4)}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12 x - 17 \cdot 4 - (x - 1) (x - 4)}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 2.6.3

Mutltipliziere $- 17$ mit $4$ .

$\frac{12 x - 68 - (x - 1) (x - 4)}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 2.6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 x - 68 + (- x - - 1) (x - 4)}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 2.6.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{12 x - 68 + (- x + 1) (x - 4)}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 2.6.6

Multipliziere $(- x + 1) (x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.6.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 x - 68 - x (x - 4) + 1 (x - 4)}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 2.6.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 x - 68 - x \cdot x - x \cdot - 4 + 1 (x - 4)}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 2.6.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 x - 68 - x \cdot x - x \cdot - 4 + 1 x + 1 \cdot - 4}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 2.6.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.6.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.7.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.7.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{12 x - 68 - (x \cdot x) - x \cdot - 4 + 1 x + 1 \cdot - 4}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 2.6.7.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{12 x - 68 - x^{2} - x \cdot - 4 + 1 x + 1 \cdot - 4}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 2.6.7.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{12 x - 68 - x^{2} + 4 x + 1 x + 1 \cdot - 4}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 2.6.7.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{12 x - 68 - x^{2} + 4 x + x + 1 \cdot - 4}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 2.6.7.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{12 x - 68 - x^{2} + 4 x + x - 4}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 2.6.7.2

Addiere $4 x$ und $x$ .

$\frac{12 x - 68 - x^{2} + 5 x - 4}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 2.6.8

Addiere $12 x$ und $5 x$ .

$\frac{17 x - 68 - x^{2} - 4}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 2.6.9

Subtrahiere $4$ von $- 68$ .

$\frac{17 x - x^{2} - 72}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 2.6.10

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{2} + 17 x - 72}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 2.6.11

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.6.11.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 72 = 72$ und deren Summe gleich $b = 17$ ist.

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Schritt 2.6.11.1.1

Faktorisiere $17$ aus $17 x$ heraus.

$\frac{- x^{2} + 17 (x) - 72}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 2.6.11.1.2

Schreibe $17$ um als $8$ plus $9$

$\frac{- x^{2} + (8 + 9) x - 72}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 2.6.11.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} + 8 x + 9 x - 72}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 2.6.11.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.6.11.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- x^{2} + 8 x) + 9 x - 72}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 2.6.11.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (- x + 8) - 9 (- x + 8)}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 2.6.11.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 8$ .

$\frac{(- x + 8) (x - 9)}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(- (x) + 8) (x - 9)}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 2.8

Schreibe $8$ als $- 1 (- 8)$ um.

$\frac{(- (x) - 1 (- 8)) (x - 9)}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 2.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 8)$ heraus.

$\frac{- (x - 8) (x - 9)}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 2.10

Schreibe $- (x - 8)$ als $- 1 (x - 8)$ um.

$\frac{- 1 (x - 8) (x - 9)}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(x - 8) (x - 9)}{4 (x - 4)} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$(x - 8) (x - 9) = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

$x - 9 = 0$

Schritt 4.2

Setze $x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $x - 8$ gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 4.3

Setze $x - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 4.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 8) (x - 9) = 0$ wahr machen.

$x = 8, 9$