Finite Mathematik Beispiele

$\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1 = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1 = 0$

Schritt 2.1.1.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1 = 0$

Schritt 2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$2 + \frac{x + 3}{x^{2} - 1^{2}} - 1 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$2 + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Schritt 2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$2 \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Schritt 2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{2 ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 ((x + 1) (x - 1)) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(2 x + 2) (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Schritt 2.5.3

Multipliziere $(2 x + 2) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x (x - 1) + 2 (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Schritt 2.5.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Schritt 2.5.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Schritt 2.5.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Schritt 2.5.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Schritt 2.5.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Schritt 2.5.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 x - 2 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Schritt 2.5.4.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 0 - 2 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Schritt 2.5.4.3

Addiere $2 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Schritt 2.5.5

Addiere $- 2$ und $3$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Schritt 2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1}{(x + 1) (x - 1)} - 1 \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 + (- x - 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.3

Multipliziere $(- x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.9.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x (x - 1) - 1 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x \cdot x - x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x \cdot x - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.9.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.9.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.9.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - (x \cdot x) - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.4.1.2

Multipliziere $- x \cdot - 1$ .

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Schritt 2.9.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.4.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + x - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.4.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + x - x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + x - x + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.4.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + 0 + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.4.3

Addiere $- x^{2}$ und $0$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.5

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + x + 1 + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2.9.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$x^{2} + x + 2 = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 4.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.3

Subtrahiere $8$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.4

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (7)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 4.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.3

Subtrahiere $8$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.4

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (7)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 4.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 4.4.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 4.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{7}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{7})}{2}$

Schritt 4.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- i \sqrt{7})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{7})}{2}$

Schritt 4.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 4.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.3

Subtrahiere $8$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.4

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (7)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 4.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 4.5.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 4.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{7}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{7})}{2}$

Schritt 4.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (i \sqrt{7})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{7})}{2}$

Schritt 4.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$