Finite Mathematik Beispiele

$2^{2 x} - 2^{x + 2} - 12 = 0$

Schritt 1

Stelle die Terme um.

$2^{2 x} - 12 - 2^{x + 2} = 0$

Schritt 2

Schreibe $2^{x + 2}$ als $2^{x} \cdot 2^{2}$ um.

$2^{2 x} - 12 - (2^{x} \cdot 2^{2}) = 0$

Schritt 3

Schreibe $2^{2 x}$ als Potenz um.

${(2^{x})}^{2} - 12 - (2^{x} \cdot 2^{2}) = 0$

Schritt 4

Entferne die Klammern.

${(2^{x})}^{2} - 12 - 2^{x} \cdot 2^{2} = 0$

Schritt 5

Ersetze $2^{x}$ durch $u$ .

$u^{2} - 12 - u \cdot 2^{2} = 0$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u^{2} - 12 - u \cdot 4 = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$u^{2} - 12 - 4 u = 0$

Schritt 7

Bewege $- 12$ .

$u^{2} - 4 u - 12 = 0$

Schritt 8

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $u^{2} - 4 u - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 8.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 6, 2$

Schritt 8.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 6) (u + 2) = 0$

Schritt 8.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 6 = 0$

$u + 2 = 0$

Schritt 8.3

Setze $u - 6$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 8.3.1

Setze $u - 6$ gleich $0$ .

$u - 6 = 0$

Schritt 8.3.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 6$

Schritt 8.4

Setze $u + 2$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 8.4.1

Setze $u + 2$ gleich $0$ .

$u + 2 = 0$

Schritt 8.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 2$

Schritt 8.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 6) (u + 2) = 0$ wahr machen.

$u = 6, - 2$

Schritt 9

Setze $6$ für $u$ in $u = 2^{x}$ ein.

$6 = 2^{x}$

Schritt 10

Löse $6 = 2^{x}$ .

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Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $2^{x} = 6$ um.

$2^{x} = 6$

Schritt 10.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{x}) = \ln (6)$

Schritt 10.3

Zerlege $\ln (2^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (2) = \ln (6)$

Schritt 10.4

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (2) = \ln (6)$ durch $\ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 10.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (2) = \ln (6)$ durch $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$

Schritt 10.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 10.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$

Schritt 10.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$

Schritt 11

Setze $- 2$ für $u$ in $u = 2^{x}$ ein.

$- 2 = 2^{x}$

Schritt 12

Löse $- 2 = 2^{x}$ .

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Schritt 12.1

Schreibe die Gleichung als $2^{x} = - 2$ um.

$2^{x} = - 2$

Schritt 12.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 2)$

Schritt 12.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- 2)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 12.4

Es gibt keine Lösung für $2^{x} = - 2$

Keine Lösung

Schritt 13

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$