Finite Mathematik Beispiele

$\frac{1}{x \cdot x} = 9$

Schritt 1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x \cdot x} - 9 = 0$

Schritt 2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1}{x^{2}} - 9 = 0$

Schritt 3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2}}{x^{2}} - 9 = 0$

Schritt 4

Schreibe $\frac{1^{2}}{x^{2}}$ als ${(\frac{1}{x})}^{2}$ um.

${(\frac{1}{x})}^{2} - 9 = 0$

Schritt 5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

${(\frac{1}{x})}^{2} - 3^{2} = 0$

Schritt 6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{1}{x}$ und $b = 3$ .

$(\frac{1}{x} + 3) (\frac{1}{x} - 3) = 0$

Schritt 7

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{1}{x} + \frac{3 x}{x}) (\frac{1}{x} - 3) = 0$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + 3 x}{x} \cdot (\frac{1}{x} - 3) = 0$

Schritt 9

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1 + 3 x}{x} \cdot (\frac{1}{x} - 3 \cdot \frac{x}{x}) = 0$

Schritt 10

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1 + 3 x}{x} \cdot (\frac{1}{x} + \frac{- 3 x}{x}) = 0$

Schritt 11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + 3 x}{x} \cdot \frac{1 - 3 x}{x} = 0$

Schritt 12

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\frac{1 + 3 x}{x} = 0$

$\frac{1 - 3 x}{x} = 0$

Schritt 13

Setze $\frac{1 + 3 x}{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $\frac{1 + 3 x}{x}$ gleich $0$ .

$\frac{1 + 3 x}{x} = 0$

Schritt 13.2

Löse $\frac{1 + 3 x}{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$1 + 3 x = 0$

Schritt 13.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 1$

Schritt 13.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 13.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 13.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 13.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 13.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Schritt 13.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.2.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{3}$

Schritt 14

Setze $\frac{1 - 3 x}{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Setze $\frac{1 - 3 x}{x}$ gleich $0$ .

$\frac{1 - 3 x}{x} = 0$

Schritt 14.2

Löse $\frac{1 - 3 x}{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$1 - 3 x = 0$

Schritt 14.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x = - 1$

Schritt 14.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = - 1$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 14.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = - 1$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 14.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 14.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 14.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 14.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 14.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.2.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 15

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\frac{1 + 3 x}{x} \cdot \frac{1 - 3 x}{x} = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}$