Finite Mathematik Beispiele

$\frac{x^{2}}{2} + 4 x + 10 = 0$

Schritt 1

Um $4 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + 4 x \cdot \frac{2}{2} + 10 = 0$

Schritt 2

Kombiniere $4 x$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{4 x \cdot 2}{2} + 10 = 0$

Schritt 3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} + 4 x \cdot 2}{2} + 10 = 0$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 4 x \cdot 2$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x + 4 x \cdot 2}{2} + 10 = 0$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $x$ aus $4 x \cdot 2$ heraus.

$\frac{x \cdot x + x (4 \cdot 2)}{2} + 10 = 0$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (4 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{x (x + 4 \cdot 2)}{2} + 10 = 0$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{x (x + 8)}{2} + 10 = 0$

Schritt 5

Um $10$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (x + 8)}{2} + 10 \cdot \frac{2}{2} = 0$

Schritt 6

Kombiniere $10$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (x + 8)}{2} + \frac{10 \cdot 2}{2} = 0$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (x + 8) + 10 \cdot 2}{2} = 0$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 8 + 10 \cdot 2}{2} = 0$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 8 + 10 \cdot 2}{2} = 0$

Schritt 8.3

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 10 \cdot 2}{2} = 0$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 20}{2} = 0$

Schritt 9

Setze den Zähler gleich Null.

$x^{2} + 8 x + 20 = 0$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 10.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 8$ und $c = 20$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 20)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.3

Vereinfache.

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Schritt 10.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 20$ .

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Schritt 10.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $20$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.3.1.3

Subtrahiere $80$ von $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.3.1.4

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (16)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.3.1.7

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.3.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i}{2}$

Schritt 10.3.3

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 4 i}{2}$ .

$x = - 4 \pm 2 i$

Schritt 10.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 10.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.4.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 20$ .

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Schritt 10.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $20$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.4.1.3

Subtrahiere $80$ von $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.4.1.4

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (16)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.4.1.7

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.4.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i}{2}$

Schritt 10.4.3

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 4 i}{2}$ .

$x = - 4 \pm 2 i$

Schritt 10.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 4 + 2 i$

Schritt 10.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 10.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.5.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 20$ .

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Schritt 10.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $20$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.5.1.3

Subtrahiere $80$ von $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.5.1.4

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (16)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.5.1.7

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.5.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i}{2}$

Schritt 10.5.3

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 4 i}{2}$ .

$x = - 4 \pm 2 i$

Schritt 10.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 4 - 2 i$

Schritt 10.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 4 + 2 i, - 4 - 2 i$