Finite Mathematik Beispiele

$\frac{\sqrt{x}}{2} = \frac{x^{2}}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{x^{2}}{\sqrt{x}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{x^{2}}{\sqrt{x}} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{x^{2}}{\sqrt{x}}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{2} - (\frac{x^{2}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}) = 0$

Schritt 2.1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{x^{2} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}} = 0$

Schritt 2.1.2.2

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{x^{2} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}} = 0$

Schritt 2.1.2.3

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{x^{2} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}} = 0$

Schritt 2.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{x^{2} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}} = 0$

Schritt 2.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{x^{2} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}} = 0$

Schritt 2.1.2.6

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 2.1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{x^{2} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 0$

Schritt 2.1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{x^{2} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 0$

Schritt 2.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{x^{2} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}} = 0$

Schritt 2.1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{x^{2} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}} = 0$

Schritt 2.1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{x^{2} \sqrt{x}}{x^{1}} = 0$

Schritt 2.1.2.6.5

Vereinfache.

$\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{x^{2} \sqrt{x}}{x} = 0$

Schritt 2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} \sqrt{x}$ heraus.

$\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{x (x \sqrt{x})}{x} = 0$

Schritt 2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{x (x \sqrt{x})}{x^{1}} = 0$

Schritt 2.1.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{x (x \sqrt{x})}{x \cdot 1} = 0$

Schritt 2.1.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{x (x \sqrt{x})}{x \cdot 1} = 0$

Schritt 2.1.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{x \sqrt{x}}{1} = 0$

Schritt 2.1.3.2.5

Dividiere $x \sqrt{x}$ durch $1$ .

$\frac{\sqrt{x}}{2} - (x \sqrt{x}) = 0$

$\frac{\sqrt{x}}{2} - x \sqrt{x} = 0$

Schritt 2.2

Um $- x \sqrt{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{2} - x \sqrt{x} \cdot \frac{2}{2} = 0$

Schritt 2.3

Kombiniere $- x \sqrt{x}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{- x \sqrt{x} \cdot 2}{2} = 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{x} - x \sqrt{x} \cdot 2}{2} = 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $\sqrt{x}$ aus $\sqrt{x} - x \sqrt{x} \cdot 2$ heraus.

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Schritt 2.5.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 1 - x \sqrt{x} \cdot 2}{2} = 0$

Schritt 2.5.1.2

Faktorisiere $\sqrt{x}$ aus $- x \sqrt{x} \cdot 2$ heraus.

$\frac{\sqrt{x} \cdot 1 + \sqrt{x} (- x \cdot 2)}{2} = 0$

Schritt 2.5.1.3

Faktorisiere $\sqrt{x}$ aus $\sqrt{x} \cdot 1 + \sqrt{x} (- x \cdot 2)$ heraus.

$\frac{\sqrt{x} (1 - x \cdot 2)}{2} = 0$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\sqrt{x} (1 - 2 x)}{2} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$\sqrt{x} (1 - 2 x) = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sqrt{x} = 0$

$1 - 2 x = 0$

Schritt 4.2

Setze $\sqrt{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $\sqrt{x}$ gleich $0$ .

$\sqrt{x} = 0$

Schritt 4.2.2

Löse $\sqrt{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.2.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.2.2.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.3

Setze $1 - 2 x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $1 - 2 x$ gleich $0$ .

$1 - 2 x = 0$

Schritt 4.3.2

Löse $1 - 2 x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 1$

Schritt 4.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 4.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 4.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 4.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 4.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 4.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\sqrt{x} (1 - 2 x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{1}{2}$