Finite Mathematik Beispiele

${(x - 3)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = r^{2}$

Schritt 1

Subtrahiere $r^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x - 3)}^{2} + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0$

Schritt 2

Vereinfache ${(x - 3)}^{2} + {(y - 5)}^{2} - r^{2}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${(x - 3)}^{2}$ als $(x - 3) (x - 3)$ um.

$(x - 3) (x - 3) + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $(x - 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 3) - 3 (x - 3) + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3) + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0$

Schritt 2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0$

Schritt 2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0$

Schritt 2.1.3.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3 + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0$

Schritt 2.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0$

Schritt 2.1.3.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 3 x$ .

$x^{2} - 6 x + 9 + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0$

Schritt 2.1.4

Schreibe ${(y - 5)}^{2}$ als $(y - 5) (y - 5)$ um.

$x^{2} - 6 x + 9 + (y - 5) (y - 5) - r^{2} = 0$

Schritt 2.1.5

Multipliziere $(y - 5) (y - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 6 x + 9 + y (y - 5) - 5 (y - 5) - r^{2} = 0$

Schritt 2.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 6 x + 9 + y \cdot y + y \cdot - 5 - 5 (y - 5) - r^{2} = 0$

Schritt 2.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 6 x + 9 + y \cdot y + y \cdot - 5 - 5 y - 5 \cdot - 5 - r^{2} = 0$

Schritt 2.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.6.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} + y \cdot - 5 - 5 y - 5 \cdot - 5 - r^{2} = 0$

Schritt 2.1.6.1.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $y$ .

$x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} - 5 \cdot y - 5 y - 5 \cdot - 5 - r^{2} = 0$

Schritt 2.1.6.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} - 5 y - 5 y + 25 - r^{2} = 0$

Schritt 2.1.6.2

Subtrahiere $5 y$ von $- 5 y$ .

$x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} - 10 y + 25 - r^{2} = 0$

Schritt 2.2

Addiere $9$ und $25$ .

$x^{2} - 6 x + y^{2} - 10 y + 34 - r^{2} = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 6$ und $c = y^{2} - 10 y + 34 - r^{2}$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} - 10 y + 34 - r^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} - 10 y + 34 - r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (y^{2} - 10 y + 34 - r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} - 4 (- 10 y) - 4 \cdot 34 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 5.1.4.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 4 \cdot 34 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $34$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 136 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 136 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5

Subtrahiere $136$ von $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}$ heraus.

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Schritt 5.1.6.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 y^{2}$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 40 y - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.1.2

Faktorisiere $4$ aus $40 y$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (10 y) - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 100$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (10 y) + 4 \cdot - 25 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (- y^{2}) + 4 (10 y)$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y) + 4 \cdot - 25 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (- y^{2} + 10 y) + 4 \cdot - 25$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y - 25) + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.1.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (- y^{2} + 10 y - 25) + 4 r^{2}$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y - 25 + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.2

Schreibe $y^{2} - 10 y + 25$ als ${(y - 5)}^{2}$ um.

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Schritt 5.1.6.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- (y^{2} - 10 y + 5^{2}) + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 y = 2 \cdot y \cdot 5$

Schritt 5.1.6.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- (y^{2} - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^{2}) + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = y$ und $b = 5$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- {(y - 5)}^{2} + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.3

Stelle $- {(y - 5)}^{2}$ und $r^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (r^{2} - {(y - 5)}^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = r$ und $b = y - 5$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - (y - 5)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.5

Vereinfache.

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Schritt 5.1.6.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $4 (r + y - 5) (r - y + 5)$ als $2^{2} ((r + y - 5) (r - y + 5))$ um.

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Schritt 5.1.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.7.2

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} - 10 y + 34 - r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (y^{2} - 10 y + 34 - r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} - 4 (- 10 y) - 4 \cdot 34 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 6.1.4.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 4 \cdot 34 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $34$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 136 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 136 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5

Subtrahiere $136$ von $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6

Schreibe $- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 6.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}$ heraus.

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Schritt 6.1.6.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 y^{2}$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 40 y - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6.1.2

Faktorisiere $4$ aus $40 y$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (10 y) - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 100$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (10 y) + 4 \cdot - 25 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (- y^{2}) + 4 (10 y)$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y) + 4 \cdot - 25 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (- y^{2} + 10 y) + 4 \cdot - 25$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y - 25) + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6.1.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (- y^{2} + 10 y - 25) + 4 r^{2}$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y - 25 + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6.2

Schreibe $y^{2} - 10 y + 25$ als ${(y - 5)}^{2}$ um.

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Schritt 6.1.6.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- (y^{2} - 10 y + 5^{2}) + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 y = 2 \cdot y \cdot 5$

Schritt 6.1.6.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- (y^{2} - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^{2}) + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = y$ und $b = 5$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- {(y - 5)}^{2} + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6.3

Stelle $- {(y - 5)}^{2}$ und $r^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (r^{2} - {(y - 5)}^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = r$ und $b = y - 5$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - (y - 5)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6.5

Vereinfache.

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Schritt 6.1.6.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.7

Schreibe $4 (r + y - 5) (r - y + 5)$ als $2^{2} ((r + y - 5) (r - y + 5))$ um.

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Schritt 6.1.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.7.2

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 3 + \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} - 10 y + 34 - r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (y^{2} - 10 y + 34 - r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} - 4 (- 10 y) - 4 \cdot 34 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4

Vereinfache.

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Schritt 7.1.4.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 4 \cdot 34 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $34$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 136 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 136 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5

Subtrahiere $136$ von $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6

Schreibe $- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 7.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}$ heraus.

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Schritt 7.1.6.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 y^{2}$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 40 y - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6.1.2

Faktorisiere $4$ aus $40 y$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (10 y) - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 100$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (10 y) + 4 \cdot - 25 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (- y^{2}) + 4 (10 y)$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y) + 4 \cdot - 25 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (- y^{2} + 10 y) + 4 \cdot - 25$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y - 25) + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6.1.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (- y^{2} + 10 y - 25) + 4 r^{2}$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y - 25 + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6.2

Schreibe $y^{2} - 10 y + 25$ als ${(y - 5)}^{2}$ um.

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Schritt 7.1.6.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- (y^{2} - 10 y + 5^{2}) + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 y = 2 \cdot y \cdot 5$

Schritt 7.1.6.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- (y^{2} - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^{2}) + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = y$ und $b = 5$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- {(y - 5)}^{2} + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6.3

Stelle $- {(y - 5)}^{2}$ und $r^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (r^{2} - {(y - 5)}^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = r$ und $b = y - 5$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - (y - 5)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6.5

Vereinfache.

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Schritt 7.1.6.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.7

Schreibe $4 (r + y - 5) (r - y + 5)$ als $2^{2} ((r + y - 5) (r - y + 5))$ um.

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Schritt 7.1.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.7.2

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 3 - \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 3 + \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}$

$x = 3 - \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}$