Finite Mathematik Beispiele

${(x + 2)}^{3} = x^{2} + 8$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x + 2)}^{3} - x^{2} = 8$

Schritt 1.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x + 2)}^{3} - x^{2} - 8 = 0$

Schritt 2

Vereinfache ${(x + 2)}^{3} - x^{2} - 8$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot 2 + 3 x \cdot 2^{2} + 2^{3} - x^{2} - 8 = 0$

Schritt 2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x^{3} + 6 x^{2} + 3 x \cdot 2^{2} + 2^{3} - x^{2} - 8 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{3} + 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + 2^{3} - x^{2} - 8 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 2^{3} - x^{2} - 8 = 0$

Schritt 2.1.2.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 - x^{2} - 8 = 0$

Schritt 2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 - x^{2} - 8$ .

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x - x^{2} + 0 = 0$

Schritt 2.2.2

Addiere $x^{3} + 6 x^{2} + 12 x - x^{2}$ und $0$ .

$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x - x^{2} = 0$

Schritt 2.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $6 x^{2}$ .

$x^{3} + 5 x^{2} + 12 x = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} + 5 x^{2} + 12 x$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + 5 x^{2} + 12 x = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (5 x) + 12 x = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $x$ aus $12 x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (5 x) + x \cdot 12 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (5 x)$ heraus.

$x (x^{2} + 5 x) + x \cdot 12 = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} + 5 x) + x \cdot 12$ heraus.

$x (x^{2} + 5 x + 12) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 5 x + 12 = 0$

Schritt 5

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6

Setze $x^{2} + 5 x + 12$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x^{2} + 5 x + 12$ gleich $0$ .

$x^{2} + 5 x + 12 = 0$

Schritt 6.2

Löse $x^{2} + 5 x + 12 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 5$ und $c = 12$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.3.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $12$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.3

Subtrahiere $48$ von $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.4

Schreibe $- 23$ als $- 1 (23)$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (23)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.4.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

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Schritt 6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $12$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.3

Subtrahiere $48$ von $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.4

Schreibe $- 23$ als $- 1 (23)$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (23)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 6.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 5 + i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 6.2.4.4

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 6.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{23}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (- i \sqrt{23})}{2}$

Schritt 6.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - (- i \sqrt{23})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (5 - i \sqrt{23})}{2}$

Schritt 6.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.5.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

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Schritt 6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $12$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.3

Subtrahiere $48$ von $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.4

Schreibe $- 23$ als $- 1 (23)$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (23)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 6.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 5 - i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 6.2.5.4

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 6.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{23}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (i \sqrt{23})}{2}$

Schritt 6.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - (i \sqrt{23})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (5 + i \sqrt{23})}{2}$

Schritt 6.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 6.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x^{2} + 5 x + 12) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$