Finite Mathematik Beispiele

${(1 - y)}^{2} + (1 - y) y - y^{2} = - 41$

Schritt 1

Addiere $41$ zu beiden Seiten der Gleichung.

${(1 - y)}^{2} + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Schritt 2

Vereinfache ${(1 - y)}^{2} + (1 - y) y - y^{2} + 41$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${(1 - y)}^{2}$ als $(1 - y) (1 - y)$ um.

$(1 - y) (1 - y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $(1 - y) (1 - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (1 - y) - y (1 - y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 (- y) - y (1 - y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 (- y) - y \cdot 1 - y (- y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Schritt 2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 + 1 (- y) - y \cdot 1 - y (- y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Schritt 2.1.3.1.2

Mutltipliziere $- y$ mit $1$ .

$1 - y - y \cdot 1 - y (- y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Schritt 2.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 - y - y - y (- y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Schritt 2.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 - y - y - 1 \cdot - 1 y \cdot y + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Schritt 2.1.3.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.1.5.1

Bewege $y$ .

$1 - y - y - 1 \cdot - 1 (y \cdot y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Schritt 2.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$1 - y - y - 1 \cdot - 1 y^{2} + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Schritt 2.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 - y - y + 1 y^{2} + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Schritt 2.1.3.1.7

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$1 - y - y + y^{2} + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Schritt 2.1.3.2

Subtrahiere $y$ von $- y$ .

$1 - 2 y + y^{2} + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Schritt 2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - 2 y + y^{2} + 1 y - y \cdot y - y^{2} + 41 = 0$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$1 - 2 y + y^{2} + y - y \cdot y - y^{2} + 41 = 0$

Schritt 2.1.6

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.6.1

Bewege $y$ .

$1 - 2 y + y^{2} + y - (y \cdot y) - y^{2} + 41 = 0$

Schritt 2.1.6.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$1 - 2 y + y^{2} + y - y^{2} - y^{2} + 41 = 0$

Schritt 2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 - 2 y + y^{2} + y - y^{2} - y^{2} + 41$ .

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $y^{2}$ von $y^{2}$ .

$1 - 2 y + y + 0 - y^{2} + 41 = 0$

Schritt 2.2.2

Addiere $1 - 2 y + y$ und $0$ .

$1 - 2 y + y - y^{2} + 41 = 0$

Schritt 2.3

Addiere $1$ und $41$ .

$- 2 y + y - y^{2} + 42 = 0$

Schritt 2.4

Addiere $- 2 y$ und $y$ .

$- y - y^{2} + 42 = 0$

Schritt 3

Es sei $u = y$ . Ersetze $u$ für alle $y$ .

$- u - u^{2} + 42 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$- u^{2} - u + 42 = 0$

Schritt 4.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 42 = - 42$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u$ heraus.

$- u^{2} - (u) + 42 = 0$

Schritt 4.2.2

Schreibe $- 1$ um als $6$ plus $- 7$

$- u^{2} + (6 - 7) u + 42 = 0$

Schritt 4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- u^{2} + 6 u - 7 u + 42 = 0$

Schritt 4.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(- u^{2} + 6 u) - 7 u + 42 = 0$

Schritt 4.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (- u + 6) + 7 (- u + 6) = 0$

Schritt 4.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- u + 6$ .

$(- u + 6) (u + 7) = 0$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$(- y + 6) (y + 7) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$- y + 6 = 0$

$y + 7 = 0$

Schritt 7

Setze $- y + 6$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $- y + 6$ gleich $0$ .

$- y + 6 = 0$

Schritt 7.2

Löse $- y + 6 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = - 6$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- y = - 6$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = - 6$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 7.2.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.3.1

Dividiere $- 6$ durch $- 1$ .

$y = 6$

Schritt 8

Setze $y + 7$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $y + 7$ gleich $0$ .

$y + 7 = 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 7$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(- y + 6) (y + 7) = 0$ wahr machen.

$y = 6, - 7$