Finite Mathematik Beispiele

$h (x) = x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 36$

Schritt 1

Setze $x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 36$ gleich $0$ .

$x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 36 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 36$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1$

Schritt 2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

Schritt 2.1.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$2^{3} + 4 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 - 36$

Schritt 2.1.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 + 4 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 - 36$

Schritt 2.1.3.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$8 + 4 \cdot 4 + 6 \cdot 2 - 36$

Schritt 2.1.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$8 + 16 + 6 \cdot 2 - 36$

Schritt 2.1.3.5

Addiere $8$ und $16$ .

$24 + 6 \cdot 2 - 36$

Schritt 2.1.3.6

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$24 + 12 - 36$

Schritt 2.1.3.7

Addiere $24$ und $12$ .

$36 - 36$

Schritt 2.1.3.8

Subtrahiere $36$ von $36$ .

$0$

Schritt 2.1.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 36}{x - 2}$

Schritt 2.1.5

Dividiere $x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 36$ durch $x - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$6 x$

$36$

Schritt 2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$

Schritt 2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Schritt 2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$

Schritt 2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $6 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$

Schritt 2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$12 x$

Schritt 2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $6 x^{2} - 12 x$

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$

Schritt 2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$18 x$

Schritt 2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$18 x$	-	$36$

Schritt 2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $18 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$18$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$18 x$	-	$36$

Schritt 2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$18$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$18 x$	-	$36$
							+	$18 x$	-	$36$

Schritt 2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $18 x - 36$

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$18$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$18 x$	-	$36$
							-	$18 x$	+	$36$

Schritt 2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$18$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$18 x$	-	$36$
							-	$18 x$	+	$36$
										$0$

Schritt 2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 6 x + 18$

Schritt 2.1.6

Schreibe $x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 36$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 2) (x^{2} + 6 x + 18) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 6 x + 18 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.4

Setze $x^{2} + 6 x + 18$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Setze $x^{2} + 6 x + 18$ gleich $0$ .

$x^{2} + 6 x + 18 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} + 6 x + 18 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 6$ und $c = 18$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 18)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.3.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 18$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $18$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 72}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.3

Subtrahiere $72$ von $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.4

Schreibe $- 36$ als $- 1 (36)$ um.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (36)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ um.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.7

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.9

Bringe $6$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 i}{2}$

Schritt 2.4.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 6 i}{2}$ .

$x = - 3 \pm 3 i$

Schritt 2.4.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 3 + 3 i, - 3 - 3 i$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (x^{2} + 6 x + 18) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 3 + 3 i, - 3 - 3 i$

Schritt 3