Finite Mathematik Beispiele

$64 w^{3} - 343 = 0$

Schritt 1

Addiere $343$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$64 w^{3} = 343$

Schritt 2

Subtrahiere $343$ von beiden Seiten der Gleichung.

$64 w^{3} - 343 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Schreibe $64 w^{3}$ als ${(4 w)}^{3}$ um.

${(4 w)}^{3} - 343 = 0$

Schritt 3.2

Schreibe $343$ als $7^{3}$ um.

${(4 w)}^{3} - 7^{3} = 0$

Schritt 3.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 4 w$ und $b = 7$ .

$(4 w - 7) ({(4 w)}^{2} + 4 w \cdot 7 + 7^{2}) = 0$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende die Produktregel auf $4 w$ an.

$(4 w - 7) (4^{2} w^{2} + 4 w \cdot 7 + 7^{2}) = 0$

Schritt 3.4.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$(4 w - 7) (16 w^{2} + 4 w \cdot 7 + 7^{2}) = 0$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$(4 w - 7) (16 w^{2} + 28 w + 7^{2}) = 0$

Schritt 3.4.4

Potenziere $7$ mit $2$ .

$(4 w - 7) (16 w^{2} + 28 w + 49) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 w - 7 = 0$

$16 w^{2} + 28 w + 49 = 0$

Schritt 5

Setze $4 w - 7$ gleich $0$ und löse nach $w$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $4 w - 7$ gleich $0$ .

$4 w - 7 = 0$

Schritt 5.2

Löse $4 w - 7 = 0$ nach $w$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 w = 7$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 w = 7$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 w = 7$ durch $4$ .

$\frac{4 w}{4} = \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 w}{4} = \frac{7}{4}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $w$ durch $1$ .

$w = \frac{7}{4}$

Schritt 6

Setze $16 w^{2} + 28 w + 49$ gleich $0$ und löse nach $w$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $16 w^{2} + 28 w + 49$ gleich $0$ .

$16 w^{2} + 28 w + 49 = 0$

Schritt 6.2

Löse $16 w^{2} + 28 w + 49 = 0$ nach $w$ auf.

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Schritt 6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.2.2

Setze die Werte $a = 16$ , $b = 28$ und $c = 49$ in die Quadratformel ein und löse nach $w$ auf.

$\frac{- 28 \pm \sqrt{28^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 49)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.3.1.1

Potenziere $28$ mit $2$ .

$w = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot 16 \cdot 49}}{2 \cdot 16}$

Schritt 6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 16 \cdot 49$ .

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$w = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 64 \cdot 49}}{2 \cdot 16}$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 64$ mit $49$ .

$w = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 3136}}{2 \cdot 16}$

Schritt 6.2.3.1.3

Subtrahiere $3136$ von $784$ .

$w = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 2352}}{2 \cdot 16}$

Schritt 6.2.3.1.4

Schreibe $- 2352$ als $- 1 (2352)$ um.

$w = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2352}}{2 \cdot 16}$

Schritt 6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (2352)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}$ um.

$w = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 16}$

Schritt 6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$w = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 16}$

Schritt 6.2.3.1.7

Schreibe $2352$ als $28^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $784$ aus $2352$ heraus.

$w = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{784 (3)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 6.2.3.1.7.2

Schreibe $784$ als $28^{2}$ um.

$w = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{28^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$w = \frac{- 28 \pm i \cdot (28 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Schritt 6.2.3.1.9

Bringe $28$ auf die linke Seite von $i$ .

$w = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$w = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{32}$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{32}$ .

$w = \frac{- 7 \pm 7 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$w = - \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 w - 7) (16 w^{2} + 28 w + 49) = 0$ wahr machen.

$w = \frac{7}{4}, - \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 8