Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = 16 x^{2} + 24 x + 5$

Schritt 1

Setze $16 x^{2} + 24 x + 5$ gleich $0$ .

$16 x^{2} + 24 x + 5 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 16 \cdot 5 = 80$ und deren Summe gleich $b = 24$ ist.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $24$ aus $24 x$ heraus.

$16 x^{2} + 24 (x) + 5 = 0$

Schritt 2.1.1.2

Schreibe $24$ um als $4$ plus $20$

$16 x^{2} + (4 + 20) x + 5 = 0$

Schritt 2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$16 x^{2} + 4 x + 20 x + 5 = 0$

Schritt 2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(16 x^{2} + 4 x) + 20 x + 5 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$4 x (4 x + 1) + 5 (4 x + 1) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x + 1$ .

$(4 x + 1) (4 x + 5) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$4 x + 5 = 0$

Schritt 2.3

Setze $4 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $4 x + 1$ gleich $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $4 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 1$

Schritt 2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Schritt 2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.4

Setze $4 x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $4 x + 5$ gleich $0$ .

$4 x + 5 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $4 x + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 5$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 5$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 5$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{4}$

Schritt 2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{4}$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 x + 1) (4 x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{4}, - \frac{5}{4}$

Schritt 3