Finite Mathematik Beispiele

$2 v^{2} - 10 v - 20 = 8$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $v$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $20$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 v^{2} - 10 v = 8 + 20$

Schritt 1.2

Addiere $8$ und $20$ .

$2 v^{2} - 10 v = 28$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2 v^{2} - 10 v = 28$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 v^{2} - 10 v = 28$ durch $2$ .

$\frac{2 v^{2}}{2} + \frac{- 10 v}{2} = \frac{28}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 v^{2}}{2} + \frac{- 10 v}{2} = \frac{28}{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $v^{2}$ durch $1$ .

$v^{2} + \frac{- 10 v}{2} = \frac{28}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $2$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10 v$ heraus.

$v^{2} + \frac{2 (- 5 v)}{2} = \frac{28}{2}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$v^{2} + \frac{2 (- 5 v)}{2 (1)} = \frac{28}{2}$

Schritt 2.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v^{2} + \frac{2 (- 5 v)}{2 \cdot 1} = \frac{28}{2}$

Schritt 2.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$v^{2} + \frac{- 5 v}{1} = \frac{28}{2}$

Schritt 2.2.1.2.2.4

Dividiere $- 5 v$ durch $1$ .

$v^{2} - 5 v = \frac{28}{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Dividiere $28$ durch $2$ .

$v^{2} - 5 v = 14$

Schritt 3

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 4

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$v^{2} - 5 v + {(- \frac{5}{2})}^{2} = 14 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{2}$ an.

$v^{2} - 5 v + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2} = 14 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 5.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$v^{2} - 5 v + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}} = 14 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 5.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$v^{2} - 5 v + 1 \frac{5^{2}}{2^{2}} = 14 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 5.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{5^{2}}{2^{2}} = 14 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 5.1.1.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{2^{2}} = 14 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 5.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = 14 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $14 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{2}$ an.

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = 14 + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = 14 + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = 14 + 1 \frac{5^{2}}{2^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = 14 + \frac{5^{2}}{2^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = 14 + \frac{25}{2^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = 14 + \frac{25}{4}$

Schritt 5.2.1.2

Um $14$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = 14 \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{4}$

Schritt 5.2.1.3

Kombiniere $14$ und $\frac{4}{4}$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = \frac{14 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = \frac{14 \cdot 4 + 25}{4}$

Schritt 5.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.5.1

Mutltipliziere $14$ mit $4$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = \frac{56 + 25}{4}$

Schritt 5.2.1.5.2

Addiere $56$ und $25$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = \frac{81}{4}$

Schritt 6

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(v - \frac{5}{2})}^{2}$ .

${(v - \frac{5}{2})}^{2} = \frac{81}{4}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $v$ auf.

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Schritt 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$v - \frac{5}{2} = \pm \sqrt{\frac{81}{4}}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{81}{4}}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{81}{4}}$ als $\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{4}}$ um.

$v - \frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{4}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$v - \frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{9^{2}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 7.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$v - \frac{5}{2} = \pm \frac{9}{\sqrt{4}}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$v - \frac{5}{2} = \pm \frac{9}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 7.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$v - \frac{5}{2} = \pm \frac{9}{2}$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$v - \frac{5}{2} = \frac{9}{2}$

Schritt 7.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $v$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.2.1

Addiere $\frac{5}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$v = \frac{9}{2} + \frac{5}{2}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$v = \frac{9 + 5}{2}$

Schritt 7.3.2.3

Addiere $9$ und $5$ .

$v = \frac{14}{2}$

Schritt 7.3.2.4

Dividiere $14$ durch $2$ .

$v = 7$

Schritt 7.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$v - \frac{5}{2} = - \frac{9}{2}$

Schritt 7.3.4

Bringe alle Terme, die nicht $v$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.4.1

Addiere $\frac{5}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$v = - \frac{9}{2} + \frac{5}{2}$

Schritt 7.3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$v = \frac{- 9 + 5}{2}$

Schritt 7.3.4.3

Addiere $- 9$ und $5$ .

$v = \frac{- 4}{2}$

Schritt 7.3.4.4

Dividiere $- 4$ durch $2$ .

$v = - 2$

Schritt 7.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$v = 7, - 2$