Finite Mathematik Beispiele

$16 x^{2} + 25 = 40 x$

Schritt 1

Bringe die Gleichung durch Vereinfachen in eine geeignete Form, um die quadratische Ergänzung anzuwenden.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 x^{2} = 40 x - 25$

Schritt 1.2

Subtrahiere $40 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 x^{2} - 40 x = - 25$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $16 x^{2} - 40 x = - 25$ durch $16$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $16 x^{2} - 40 x = - 25$ durch $16$ .

$\frac{16 x^{2}}{16} + \frac{- 40 x}{16} = \frac{- 25}{16}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 x^{2}}{16} + \frac{- 40 x}{16} = \frac{- 25}{16}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{- 40 x}{16} = \frac{- 25}{16}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 40$ und $16$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Faktorisiere $8$ aus $- 40 x$ heraus.

$x^{2} + \frac{8 (- 5 x)}{16} = \frac{- 25}{16}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.2.2.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$x^{2} + \frac{8 (- 5 x)}{8 (2)} = \frac{- 25}{16}$

Schritt 2.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{8 (- 5 x)}{8 \cdot 2} = \frac{- 25}{16}$

Schritt 2.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + \frac{- 5 x}{2} = \frac{- 25}{16}$

Schritt 2.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} - \frac{5 x}{2} = \frac{- 25}{16}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} - \frac{5 x}{2} = - \frac{25}{16}$

Schritt 3

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Schritt 4

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + {(- \frac{5}{4})}^{2} = - \frac{25}{16} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{4}$ an.

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{4})}^{2} = - \frac{25}{16} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Schritt 5.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{4}$ an.

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{4^{2}} = - \frac{25}{16} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Schritt 5.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + 1 \frac{5^{2}}{4^{2}} = - \frac{25}{16} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Schritt 5.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{5^{2}}{4^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{5^{2}}{4^{2}} = - \frac{25}{16} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Schritt 5.1.1.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{4^{2}} = - \frac{25}{16} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Schritt 5.1.1.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{25}{16} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $- \frac{25}{16} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{4}$ an.

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{25}{16} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{4})}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{4}$ an.

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{25}{16} + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{4^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{25}{16} + 1 \frac{5^{2}}{4^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{5^{2}}{4^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{25}{16} + \frac{5^{2}}{4^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{25}{16} + \frac{25}{4^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{25}{16} + \frac{25}{16}$

Schritt 5.2.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = \frac{- 25 + 25}{16}$

Schritt 5.2.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1.2.2.1

Addiere $- 25$ und $25$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = \frac{0}{16}$

Schritt 5.2.1.2.2.2

Dividiere $0$ durch $16$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = 0$

Schritt 6

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x - \frac{5}{4})}^{2}$ .

${(x - \frac{5}{4})}^{2} = 0$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x - \frac{5}{4}$ gleich $0$ .

$x - \frac{5}{4} = 0$

Schritt 7.2

Addiere $\frac{5}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{5}{4}$