Finite Mathematik Beispiele

x^{2} - x = 0

$x^{2} - x = 0$

Schritt 1

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von

b

$b$ ist.

{(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{1}{2})}^{2}

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 2

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

x^{2} - x + {(- \frac{1}{2})}^{2} = 0 + {(- \frac{1}{2})}^{2}

$x^{2} - x + {(- \frac{1}{2})}^{2} = 0 + {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Wende die Exponentenregel

{(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ an.

x^{2} - x + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} = 0 + {(- \frac{1}{2})}^{2}

$x^{2} - x + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} = 0 + {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 3.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ an.

x^{2} - x + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} = 0 + {(- \frac{1}{2})}^{2}

$x^{2} - x + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} = 0 + {(- \frac{1}{2})}^{2}$

x^{2} - x + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} = 0 + {(- \frac{1}{2})}^{2}

$x^{2} - x + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} = 0 + {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 3.1.1.2

Potenziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

x^{2} - x + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} = 0 + {(- \frac{1}{2})}^{2}

$x^{2} - x + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} = 0 + {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 3.1.1.3

Mutltipliziere

\frac{1^{2}}{2^{2}}

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit

1

$1$ .

x^{2} - x + \frac{1^{2}}{2^{2}} = 0 + {(- \frac{1}{2})}^{2}

$x^{2} - x + \frac{1^{2}}{2^{2}} = 0 + {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 3.1.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

x^{2} - x + \frac{1}{2^{2}} = 0 + {(- \frac{1}{2})}^{2}

$x^{2} - x + \frac{1}{2^{2}} = 0 + {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 3.1.1.5

Potenziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0 + {(- \frac{1}{2})}^{2}

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0 + {(- \frac{1}{2})}^{2}$

x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0 + {(- \frac{1}{2})}^{2}

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0 + {(- \frac{1}{2})}^{2}$

x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0 + {(- \frac{1}{2})}^{2}

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0 + {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache

0 + {(- \frac{1}{2})}^{2}

$0 + {(- \frac{1}{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Exponentenregel

{(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ an.

x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0 + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0 + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ an.

x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0 + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0 + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}$

x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0 + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0 + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.2

Potenziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0 + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}}

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0 + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.3

Mutltipliziere

\frac{1^{2}}{2^{2}}

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit

1

$1$ .

x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0 + \frac{1^{2}}{2^{2}}

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0 + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0 + \frac{1}{2^{2}}

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0 + \frac{1}{2^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.5

Potenziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0 + \frac{1}{4}

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0 + \frac{1}{4}$

x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0 + \frac{1}{4}

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0 + \frac{1}{4}$

Schritt 3.2.1.2

Addiere

0

$0$ und

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ .

x^{2} - x + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

x^{2} - x + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

x^{2} - x + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

x^{2} - x + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 4

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu

${(x - \frac{1}{2})}^{2}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4}$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach

$x$ auf.

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Schritt 5.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Schritt 5.2

Vereinfache

$\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 5.2.1

Schreibe

$\sqrt{\frac{1}{4}}$ als

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ um.

$x - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.2.2

Jede Wurzel von

$1$ ist

$1$ .

$x - \frac{1}{2} = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe

$4$ als

$2^{2}$ um.

$x - \frac{1}{2} = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 5.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x - \frac{1}{2} = \pm \frac{1}{2}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.2

Bringe alle Terme, die nicht

$x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.2.1

Addiere

$\frac{1}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{1 + 1}{2}$

Schritt 5.3.2.3

Addiere

$1$ und

$1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Schritt 5.3.2.4

Dividiere

$2$ durch

$2$ .

$x = 1$

Schritt 5.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.4

Bringe alle Terme, die nicht

$x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.4.1

Addiere

$\frac{1}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 1 + 1}{2}$

Schritt 5.3.4.3

Addiere

$- 1$ und

$1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 5.3.4.4

Dividiere

$0$ durch

$2$ .

$x = 0$

Schritt 5.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, 0$