Finite Mathematik Beispiele

$x^{2} - 5 x = 5$

Schritt 1

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 2

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} - 5 x + {(- \frac{5}{2})}^{2} = 5 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{2}$ an.

$x^{2} - 5 x + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2} = 5 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 3.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$x^{2} - 5 x + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}} = 5 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 3.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - 5 x + 1 \frac{5^{2}}{2^{2}} = 5 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 3.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{5^{2}}{2^{2}} = 5 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 3.1.1.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{2^{2}} = 5 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 3.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = 5 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $5 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{2}$ an.

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = 5 + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = 5 + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = 5 + 1 \frac{5^{2}}{2^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = 5 + \frac{5^{2}}{2^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = 5 + \frac{25}{2^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = 5 + \frac{25}{4}$

Schritt 3.2.1.2

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = 5 \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{4}$

Schritt 3.2.1.3

Kombiniere $5$ und $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = \frac{5 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4}$

Schritt 3.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = \frac{5 \cdot 4 + 25}{4}$

Schritt 3.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = \frac{20 + 25}{4}$

Schritt 3.2.1.5.2

Addiere $20$ und $25$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = \frac{45}{4}$

Schritt 4

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x - \frac{5}{2})}^{2}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} = \frac{45}{4}$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - \frac{5}{2} = \pm \sqrt{\frac{45}{4}}$

Schritt 5.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{45}{4}}$ .

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Schritt 5.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{45}{4}}$ als $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$ um.

$x - \frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.2.1

Schreibe $45$ als $3^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 5.2.2.1.1

Faktorisiere $9$ aus $45$ heraus.

$x - \frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{9 (5)}}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.2.2.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x - \frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x - \frac{5}{2} = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x - \frac{5}{2} = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 5.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x - \frac{5}{2} = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 5.3

Addiere $\frac{5}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{5}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{5}{2}$

Dezimalform:

$x = 5.85410196 \dots, - 0.85410196 \dots$