Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = 5 \cos^{2} (π x)$

Schritt 1

Setze $5 \cos^{2} (π x)$ gleich $0$ .

$5 \cos^{2} (π x) = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 \cos^{2} (π x) = 0$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $5 \cos^{2} (π x) = 0$ durch $5$ .

$\frac{5 \cos^{2} (π x)}{5} = \frac{0}{5}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cos^{2} (π x)}{5} = \frac{0}{5}$

Schritt 2.1.2.1.2

Dividiere $\cos^{2} (π x)$ durch $1$ .

$\cos^{2} (π x) = \frac{0}{5}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $5$ .

$\cos^{2} (π x) = 0$

Schritt 2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\cos (π x) = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\cos (π x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (π x) = \pm 0$

Schritt 2.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$\cos (π x) = 0$

Schritt 2.4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$π x = \arccos (0)$

Schritt 2.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$π x = \frac{π}{2}$

Schritt 2.6

Teile jeden Ausdruck in $π x = \frac{π}{2}$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = \frac{π}{2}$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{2}}{π}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{2}}{π}$

Schritt 2.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{π}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 2.6.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 2.6.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 2.7

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$π x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 2.8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache.

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Schritt 2.8.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$π x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.8.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$π x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.8.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$π x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 2.8.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$π x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 2.8.1.5

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$π x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.8.2

Teile jeden Ausdruck in $π x = \frac{3 π}{2}$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 2.8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = \frac{3 π}{2}$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

Schritt 2.8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

Schritt 2.8.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

Schritt 2.8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.8.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 2.8.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.8.2.3.2.1

Faktorisiere $π$ aus $3 π$ heraus.

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 2.8.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 2.8.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 2.9

Ermittele die Periode von $\cos (π x)$ .

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Schritt 2.9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.9.2

Ersetze $b$ durch $π$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| π |}$

Schritt 2.9.3

$π$ ist ungefähr $3.14159265$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 2.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 2.9.4.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$

Schritt 2.10

Die Periode der Funktion $\cos (π x)$ ist $2$ , d. h., Werte werden sich alle $2$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{1}{2} + 2 n, \frac{3}{2} + 2 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.11

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{1}{2} + 1 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3